Aljabar Matriks untuk Statistika


Oleh I Made Tirta. 2015. Laboratorium Statistika, Jurusan Matematika FMIPA Universitas Jember

Hit Counter
Hit Counter

ALJABAR MATRIKS UNTUK STATISTIKA

Tujuan Khusus

Mahasiswa dapat
  1. menyebutkan jenis- jenis matriks terutama yang banyak dijumpai dalam statistika
  2. menyelesaikan operasi matriks
  3. mencari turunan suatu matriks atau vektor.

Materi

  1. Definisi dan jenis- jenis matriks
  2. Operasi hitung matriks (penjumlahan, pengurangan, perkalian, transpose)
  3. Bentuk kuadrat (quadratic form) dan turunannya.

Definisi dan Jenis Matriks

Definisi Matriks adalah kumpulan unsur yang disusun dalam baris dan kolom yang berbentuk persegi panjang.
Matriks biasanya dinotasikan dengan huruf besar tebal, misalnya $\mathbf{A, B}$ sedangkan unsur- unsurnya bisa berupa bilangan atau huruf kecil. Banyaknya baris dan kolom matrks disebut ordo matriks. Matriks berordo $n\times m$ dinotasikan dengan $\mathbf{A}_{m\times n} = [ a_{ij} ],$ dalam hal ini $a_{ij}$ adalah unsur yang berada pada baris ke $i$ dan kolom ke $j$.
Definisi \[\mathbf{A}_{m\times n} = [a_{ij}]=(a_{ij})= \begin{pmatrix} a_{11}& a_{12}& a_{13}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}&\cdots & a_{2n}\\ \vdots &\vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11}& a_{12}& a_{13}& \cdots & a_{1m\n}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}&\cdots & a_{2n}\\ \vdots &\vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \]
Contoh
Matriks $\mathbf{A}$ berikut adalah matriks yang berordo $4\times 3$; \[\mathbf{A}=\left( \begin{array}{rrr} 3 & 4 & 5 \\ 1 & 3 & 6 \\ 7 & 10 & 20 \\ 5 & 7 & 2 \end{array} \right)\] Beberapa matriks khusus yang banyak digunakan dalam statistika diantaranya adalah matriks bujur sangkar, matriks diagonal, matriks skalar dan matriks simetrik. Definisi masing -masing jenis matriks di atas dapat dilihat pada buku-buku teks standar yang membahas matriks.
Definisi Matriks bujur sangkar, adalah matriks yang banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom, yaitu $n=m$.
Pada matriks bujur sangkar, unsur unsur yang berada pada baris dan kolom dengan nomor sama disebut diagonal utama (yaitu: $a_{ii}$.)
Contoh
\[\mathbf{B}=\left( \begin{array}{rrr} 3 & 14 & 5 \\ 11 & 3 & 6 \\ 7 & 10 & 20 \end{array} \right)\]
Definisi Matriks diagonal adalah matriks yang semua unsurnya selain unsur unsurnya pada diagonal utama adalah nol, yaitu $a_{ij} = 0$ untuk setiap $i \neq j$.
Contoh
\[\mathbf{D}=\left( \begin{array}{rrr} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array} \right)\]
Definisi Matriks skalar adalah matriks diagonal yang semua unsurnya sama.

Contoh
\[\mathbf{C}=\left( \begin{array}{rrr} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{array} \right)\]
Definisi Matriks identitas I adalah matriks skalar yang semua unsurnya $1$

Contoh
\[\mathbf{I}=\left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)\]
Definisi Matriks nol (0) adalah matriks yang semua unsurnya adalan $0$.

Definisi Matriks simetris adalah matriks yang unsur- unsurnya simetris terhadap diagonal utama, yaitu $a_{ij}=a_{ji}$ untuk setiap $i$ dan $j$.

Contoh
\[\mathbf{A}=\left( \begin{array}{rrr} 3 & 1 & 5 \\ 1 & 2 & 0 \\ 5 & 0 & 4 \end{array} \right)\]
Contoh
Dalam statistika, matriks simetrik yang banyak ditemukan adalah matriks korelasi ($\mathbf{R}$) dan matriks varians-kovarians($\mathbf{V}$). \[ \mathbf{R}= \left( \begin{array}{cccc} 1 & r_{12} & \cdots &r_{1n}\\ r_{21}& 1 &\cdots & r_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ r_{n1} & r_{2n} & \cdots & 1 \end{array}\right) \text{ dan }\mathbf{V}= \left( \begin{array}{cccc} \sigma_1^2 & \sigma_{12} & \cdots &\sigma_{1n}\\ \sigma_{21}& \sigma_2^2 &\cdots & \sigma_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \sigma_{n1} & \sigma_{2n} & \cdots & \sigma^2_n \end{array}\right) \] Selain matriks-matriks umum di atas, dalam statistika ada yang disebut matriks desain $\mathbf{X}.$ Matriks ini merupakan matriks yang menghubungkan parameter $\boldsymbol{\beta}$ dengan peubah-peubah penjelas $X_j$. Pada umumnya model yang dipergunakan selalu mengandung konstanta sehingga kolom pertama matriks $\mathbf{X}$ biasanya beranggotakan 1. \[\mathbf{X}= \begin{pmatrix} 1&x_{11}&x_{12}& \cdots &x_{1p}\\ 1&x_{21}&x_{22}& \cdots &x_{2p}\\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\ 1&x_{n1}&x_{n2}& \cdots &x_{np}\\ \end{pmatrix}\]

Operasi Matriks dan Sifat-sifatnya

Operasi matriks yang penting yang banyak dipergunakan dalam statistika diantaranya adalah operasi uner yaitu: invers dan transfose dan operasi biner yaitu penjumlahan dan perkalian.

Operasi uner

Untuk melakukan operasi uner diperlukan cukup satu matriks. Yang termasuk operasi uner adalah operasi invers baik untuk penjumlahan maupun perkalian dan operasi transfus.
Definisi Inverse penjumlahan suatu matriks $\mathbf{A}$ ditulis $\mathbf{-A}$, adalah matriks yang unsur-unsurnya adalah negatif dari unsur-unsur matrks $\mathbf{A}$

Contoh
\[\text{Jika }\mathbf{A}=\left( \begin{array}{rrr} 3 & 1 & 5 \\ 1 & -2 & 0 \\ 5 & 0 & -4 \end{array} \right),\text{ maka } \mathbf{-A}=\left( \begin{array}{rrr} -3 & -1 & -5 \\ -1 & 2 & 0 \\ -5 & 0 & 4 \end{array} \right).\]
Definisi Transpos matriks $\mathbf{A}$ (berordo $m\times n$) ditulis $\mathbf{A}^T$ adalah matriks berordo $n\times m$ yang diperoleh dengan menukar baris matriks $\mathbf{A}$ menjadi kolom dan sebaliknya, yaitu jika $\mathbf{B}=\mathbf{A}^T$, maka $b_{ij}=a_{ji}.$

Contoh
\[ \text{Jika } \mathbf{A}= \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 1 & 7 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \text{ maka } \mathbf{A^T}= \begin{pmatrix} 4 & 1 & 2 \\ 5 & 7 & 4 \end{pmatrix}\]
Teorema Jika $\mathbf{A}$ adalah matriks simetris, maka $\mathbf{A}=\mathbf{A}^T$

Definisi Invers perkalian suatu matriks $\mathbf{A}$ ditulis $\mathbf{A}^{-1},$ adalah matriks yang jika dikalikan dengan $\mathbf{A}$ menghasilkan matriks identitas yaitu $\mathbf{A}.\mathbf{A}^{-1} =\mathbf{A}^{-1}. \mathbf{A} = \mathbf{I}.$

Operasi biner

Dalam operasi matriks secara simbolik kita akan banyak menggunakan notasi $\sum$. dan $\prod$. Untuk itu dalam subbab ini akan dibahas secara sepintas kedua notasi tersebut.
Definisi \[\sum_{i=1}^n f(x_i) = f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_i)+\cdots+f(x_n).\]
Sifat-sifat operator Sigma diberikan dalam hasil berikut ini.
Teorema Sifat- sifat operator Sigma adalah
  1. Jika $k$ adalah suatu konstanta, maka $\displaystyle \sum_{i=1}^n k = nk.$
  2. Jika $k$ adalah suatu konstanta, dan $f$ adalah fungsi dalam $x_i$ maka \[\displaystyle \sum_{i=1}^n k f(x_i) = k\sum_{i=1}^n f(x_i).\]
  3. Jika $k_1,\;k_2$ adalah konstanta dan $f(x_i)= x_i^2 + k_1x_i + k_2$, maka \[\displaystyle \sum_{i=1}^n f(x_i)=\sum_{i=1}^n x_i^2 + k_1 \sum_{i=1}^n +nk_2.\]

Bukti: \begin{eqnarray*} 1&\sum_{i=1}^n k & = \underbrace{k+k+\cdots +k}_n\\ & & = nk. \Box \\ 2&\sum_{i=1}^n k f(x_i) & = k f(x_1) +k f(x_2) +\cdots +k f(x_n)\\ & & = k (f(x_1) + f(x_2) +\cdots + f(x_n)) \\ & & = k \sum_{i=1}^n f(x_i). \Box \\ 3&\sum_{i=1}^n f(x_i) & = \sum_{i=1}^n \left(x_i^2 + k_1x_i + k_2\right) \\ & & =\left(x_1^2 + k_1x_1 + k_2\right)+ \cdots + \left(x_n^2 + k_1x_n + k_2\right) \\ & & = x_1^2+\cdots+x_n^2 + k_1x_1+\cdots+k_1x_n +\underbrace{k_2+\cdots+k_2}_n \\ & & = \sum_{i=1}^n x_i^2 + \sum_{i=1}^n k_1x_i + nk_2\\ & & = \sum_{i=1}^n x_i^2 + k_1\sum_{i=1}^n x_i + nk_2.\quad \Box \end{eqnarray*} Untuk lebih meringkas notasi, kadang-kadang jumlah untuk seluruh rentangan indeks hanya dinotasikan dengan tanda titik (.) untuk indeks tersebut, misalnya \begin{align*} x_{i.} &= \sum_{j=1}^n x_{ij} \\ x_{.j} & = \sum_{i=1}^m x_{ij}. \end{align*} Jika operator $\sum$ merupakan penjumlahan yang berulang, maka operator untuk perkalian berulang disebut operator $\prod$ yang didefinisikan seperti berikut ini.
Teorema \[\prod_{i=1}^n f(x_i) = f(x_1)\times f(x_2) \times \cdots \times f(x_i)\times \cdots \times f(x_n).\]
Sedangkan sifat- sifat operator $\prod$ dinyatakan dalam hasil berikut.
Teorema Sifat- sifat operator $\prod$ adalah:
  1. jika $k$ adalah suatu konstanta, maka $\displaystyle \prod_{i=1}^n k = k^n;$
  2. jika $k$ adalah suatu konstanta, dan $f$ adalah fungsi dalam $x_i$ maka \[\displaystyle \prod_{i=1}^n k f(x_i) = k^n \prod_{i=1}^n f(x_i);\]
  3. jika $k_1,\;k_2$ adalah konstanta dan $f(x_i)= (x_i^2) (k_1x_i) (k_2)$, maka \[\displaystyle \prod_{i=1}^n f(x_i)=\prod_{i=1}^n x_i^2 \times k_1 ^n \prod_{i=1}^n x_i \times k_2^n.\]

Pembuktian hasil $\prod$ di atas analog dengan pembuktian sifat- sifat operator $\sum$.

penjumlahan Matriks

Matriks yang bisa dijumlahkan (ditambah dan dikurangi) adalah matriks yang berdordo sama. Matriks yang berordo sama disebut conformable terhadap penjumlahan. Penjumlahan matriks dilakukan dengan menjumlahkan unsur unsur yang seletak, yaitu unsur unsur yang terletak pada baris dan kolom yang sama atau yang mempunyai indeks yang sama.
Teorema Jika $\mathbf{A}=\left(a_{ij}\right)$ dan $\mathbf{B}=\left(b_{ij}\right)\; i=1,2,\cdots,m; j=1,2,\cdots,n$ maka $\mathbf{A+B}$ adalah matriks $\mathbf C$ yang berordo $m\times n$ dengan unsur unsurnya adalah $c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$.

Contoh
Jika \[ \mathbf{A}= \begin{pmatrix} 3&5 &\\\ 8 & 4 \\ 6 & 10 \end{pmatrix} \text{ dan } \mathbf{B}= \begin{pmatrix} 6 &8 \\ 2 & 4 \\ 3 & 10 \end{pmatrix}, \] maka \[ \mathbf{A+B}= \begin{pmatrix} 3+6 & 5+8 \\ 8+2 & 4+4 \\ 6+3 & 10+10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & 13 \\ 10 & 8 \\ 9 & 20 \end{pmatrix}. \]
Definisi Selisih dua matriks didefinisikan sebagai jumlah dengan negatif matriks pengurang, yaitu $\mathbf{A-B}=\mathbf{A}+(-\mathbf{B}).$

Teorema Sifat- sifat penting dari penjumlahan matriks adalah
$\mathbf{ A+B=B+A}$ komutatif
$\mathbf{A+0=0+A}$ identitas
$\mathbf{A+(-A)=0}$ invers
$\mathbf{ A+(B+C)=(A+B)+C }$ assosatif
$\mathbf{ (A+B)^T = A^T + B^T }$ distributif transpus

Perkalian matriks

Perkalian matriks bisa dilakukan apabila banyaknya kolom matriks yang terkali sama dengan banyaknya baris matriks pengali. Matriks-matriks yang dapat dikalikan disebut matriks- matriks yang conformable terhadap perkalian. Selain perkalian dengan sesama matriks, matriks juga dapat dikalikan dengan skalar.
Definisi Hasil kali suatu matriks dengan suatu skalar adalah matriks yang unsur- unsurnya adalah hasil kali setiap unsur matriks dengan skalar tersebut, yaitu $k\mathbf{A}=\left(ka_{ij}\right).$

Contoh \[3 \left( \begin{array}{rrr} 3 & -2 & -6 \\ 1 & 2 & 0 \\ -5 & 0 & 4 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{rrr} 9 & -6 & -18 \\ 3 & 6 & 0 \\ -15 & 0 & 12 \end{array} \right).\]

Teorema Hasil kali dua matriks adalah matriks yang berordo sedemikian sehingga barisnya sama dengan baris matriks yang dikalikan dan kolomnya sama dengan kolom matriks pengali. Unsur unsur dari matruiks pengali merupakan kombinasi linier dari baris matriks terkali dengan kolom dari matriks pengali. Jadi jika $\mathbf{A}_{m\times n} \mathbf{B}_{n\times p}$, maka $\mathbf{C}_{m\times p}=AB$ dengan \begin{align*} c_{ik}&= a_{i1}b_{1k}+a_{i2}b_{2k}+\cdots+a_{in}b_{nk} \\&=\sum_{j=1}^n a_{ij}b_{jk}. \end{align*}

Contoh
Jika \[\mathbf{A}=\left( \begin{array}{rrr} 3 & -2 & -6 \\ 1 & 2 & 0 \\ -5 & 0 & 4 \end{array} \right) \text{ dan } \mathbf{B}= \left( \begin{array}{rrr} 3 & -1 & 2 \\ 5 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 4 \end{array} \right),\] maka $ \mathbf{AB}$ \begin{align*}&=\left( {\small \begin{array}{ccc} (3)(3)+(-2)(5)+(-6)(0) & (3)(-1)+(-2)(2)+(-6)(2) & (3)(2)+(-2)(0)+(-6)(4) \\ (1)(3)+(2)(5)+(0) (0) & (1)(-1)+(2)(2)+(0)(2) & (1)(2)+(2)(0)+(0)(4) \\ (-5)(3)+(0)(5)+(4)(0) & (-5)(-1)+(0)(2)+(4)(2) & (-5)(2)+(0)(0)+(4)(4) \end{array} }\right)\\ &= \left( \begin{array}{rrr} -1 & -19 & -18 \\ 13& 3 & 2\\ -15 & 13 & 6 \end{array} \right).\end{align*}
Teorema Sifat- sifat operasi perkalian yang penting diantaranya
  1. Nonkomutatif, yaitu secara umum $\mathbf{AB \neq BA};$
  2. Assosiatif, yaitu $\mathbf{(AB)C = A(BC)};$
  3. Distributif perkalian terhadap jumlah, yaitu $\mathbf{A(B+C)=AB+AC}.$
  4. Distributif transfos terhadap perkalian, yaitu $\mathbf{(AB)^T=B^TA^T}.$

Determinan dan invers matriks


Teorema Determinan dari suatu matriks bujur sangkar $\mathbf{A}$, dinotasikan dengan $|\mathbf{A}|$ atau det($\mathbf{A}$) adalah fungsi skalar yang didefinisikan sedemikian rupa sehingga merupakan jumlah hasilkali unsur- unsur yang sejajar diagonal utama dikurangi jumlah unsur- unsur yang sejajar diagonal lain. Dalam bentuk notasi \[|\mathbf{A}|=\prod_{i=1}^na_{ii}+ \prod_{i=1}^n a_{i,i+1}+\cdots +a_{1n}\prod _{i=1}^{n-1} a_{i+1,i}-\prod_{i=1}^n a_{n+1-i,i}-\cdots -a_{11}\prod_{i=2}^{n-1} a_{n+2-i,i}. \]

Definisi Matriks yang determinannya tidak nol disebut matriks nonsinguler. Sedangkan matriks yang determinannya 0 disebut matriks singuler.

Contoh
Jika $\mathbf{A}= \begin{pmatrix} 3 & 4 & 1\\ 5 & 7 & 6\\ 3 & 2 & 5 \end{pmatrix},$ maka det $\mathbf{A}$ adalah \begin{align*} |\mathbf{A}|&= (3)(7)(5)+(4)(6)(3)+(1)(5)(2) \\ & \hspace{0.5cm} -(3)(7)(1)-(5)(4)(5)-(3)(2)(6) \\ &= 105 + 72 + 10 - 21-100-36\\ &= 187-157 = 30 \end{align*}
Definisi Teras(trace) suatu matriks bujur sangkar adalah jumlah unsur diagonal utama dari matriks tersebut, yaitu tr$(\mathbf{A})=\sum_{i=1}^n a_{ii}.$

Contoh
Dari \[\mathbf{A}= \left( \begin{array}{rrr} -1 & -19 & -18 \\ 13& 3 & 2\\ -15 & 13 & 6 \end{array} \right),\] maka tr$(\mathbf{A})=-1+3+6=8.$ Untuk matriks bujur sangkar beordo 2, cara mencari invers adalah sebagai berikut.
Teorema Jika $\displaystyle \mathbf{A}=\begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix},$ maka
  1. $\mid\mathbf{A}\mid=ac-bd$
  2. $\mathbf{A}^{-1} =\frac{1}{|\mathbf{A}|} \begin{pmatrix} d & -c \\ -b & a \end{pmatrix}$

Kebergantungan Linier dan Rank Matriks

Dalam statistika pada umumnya kolom-kolom matriks mewakili peubah-peubah acak yang bisa saling bebas atau tidaksaling bebas satu sama lain. Kondisi ini akan mempengaruhi apakah matriks yang akan dihasilkan mempunyai rank penuh atau tidak, apakah matriks yang dihasilkan akan mempunyai invers atau tidak.
Definisi Suatu kolom dari matriks $\mathbf{A}$ dikatakan bergantung linier dengan kolom-kolom lainnya jika dia dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari kolom-kolom lainnya tersebut.

Definisi Rank suatu matriks adalah bilangan yang menunjukkan banyaknya maksimum kolom yang saling independen.

Defnisi Suatu matriks dikatakan mempunyai rank penuh jika ranknya sama dengan banyaknya kolom

Teorema Suatu matriks bujur sangkar akan non singular jika mempunyai rank penuh, sebaliknya akan singular jika tidak mempuyai rank penuh.

Contoh
Matriks $\mathbf{A}= \begin{pmatrix} 3 & 4 & 1\\ 5 & 7 & 6\\ 3 & 2 & 5 \end{pmatrix}$ adalah matriks nonsingular dengan rank penuh 3. Tetapi $\mathbf{B}= \begin{pmatrix} 3 & 4 & 1\\ 18 & 7 & 6\\ 15 & 2 & 5 \end{pmatrix} $ tidak mempunyai rank penuh karena kolom pertama merupakan $3 \times$ kolom ketiga dan karenanya $\mathbf{B}$ adalah matriks singular dan tidak memiliki invers. Penyelesaian konkrit dari kegergantungan ini dapat dihitung dengan membentuk sistim persamaan homogen antara kolom-kolom matriks dan mencari apakah sistem persamaan homogen tersebut mempunyai atau tidak penyelesaian tidak nol.
Teorema Jika matriks $\mathbf{A}_{np}$ bukan matriks bujur sangkar ($n < p$), paling tidak ada ($p-n$) kolom yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari kolom lainnya. Dengan demikian maka $\mathbf{A}$ tidak akan mempunyai rank penuh.

Contoh
Matriks $\mathbf{A}= \begin{pmatrix} 3 & 4 & 1 & 1\\ 5 & 7 & 6 & 1\\ 3 & 2 & 5 & 1 \end{pmatrix}$ mempunyai banyak kolom yang lebih besar dari banyaknya baris, karena itu pasti salah satu dari kolom yang ada dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari yang lainnya. Secara aljabar hal ini mengandung pengertian bahwa sistim persamaan $ak_1+ b+k_2+ck_3+d_k4=0$, dengan $k_j$ adalah kolom ke $j$, mempunyai penyelesaian dimana sekalar $a,b,c,d$ tidak semuanya sama dengan nol. \begin{align*} 3a+4b+c+d&=0\quad (1) \\ 5a+7b+6c+d&=0\quad (2)\\ 3a+2b+5c+d&=0\quad (3) \end{align*} Selanjutnya (1)-(3) dan (2)-(3) akan menghasilkan \begin{align*} 2b+-4c&=0\quad (4) \\ 2a+5b+c&=0\quad (5)\\ \end{align*} Persamaan (4) menghasilkan hubungan $b=2c$ yang dapat disubstitusikan ke (5) \begin{align*} 2a+10c+c7& =0 \\ 2a+11c& = 0 \\ a&=-11/2 c \quad (7) \\ \end{align*} Selanjutnya jika (7) disubstitusikan ke persamaan (1) akan menghasilkan \begin{align*} -33/2 c + 8c +c +d &=0 \\ d& = 33/2c-9c = 15/2c \end{align*} Jadi sistim persamaan ini mempunyai penyelesaian yang bersifat parametrik, salah satu diantaranya adalah untuk $c=2$, maka diperoleh $b=4, a= -11, d= 15.$ Dalam statistika, jika $\mathbf{X}$ adalah matriks desain yang kolomnya menunjukkan peubah-peubah penjelas dan barisnya merupakan sampel, untuk menjamin agar $\mathbf{X}$ mempunyai rank penuh, maka banyaknya sampel selalu diusahakan jauh lebih banyak dari banyaknya peubah penjelas yang menjadi perhatian.

Bentuk Kuadrat dan Diferensial Matriks


Definisi Misalkan \[\mathbf{x}=\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \cdots \\ x_n \end{array} \right) \text{ dan } \mathbf{A} = \left( \begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12} & \cdots &a_{n1} \\ a_{21}&a_{22} & \cdots& a_{n2} \\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\ a_{n1}& a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{array} \right), \] maka $\displaystyle\mathbf{x^TAx}= \left( \sum_{i=1}^n\left[\sum_{j=1}^n x_j a_{ij}\right]x_i \right);$ merupakan matriks 1 $\times 1 $ (skalar) yang disebut bentuk kuadrat.
Matriks $\mathbf{A}$ pada umumnya merupakan matriks simetrik, misalnya matriks korelasi ataupun matriks varians-kovarians. Dalam statistika sering diperlukan turunan suatu matriks terhadap sekelompok peubah dalam satu vektor. Pada dasarnya turunan satu peubah terhadap suatu vektor adalah adalah suatu vektor atau matriks yang unsur-unsurnya adalah turunan peubah pertama terhadap peubah unsur-unsur vektor penurun sedemikain sehingga posisi unsurnya sesuai dengan posisi unsur yang diturukan dan unsur penurun.
Teorema Misalkan \[\mathbf{x}=\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right)\text{ dan } \mathbf{g}=\Big(g(\mathbf{x})\Big)\] maka \[ \frac{ \partial \mathbf{g}}{\partial \mathbf{x}}=\left( \begin{array}{c} \frac{\partial g}{\partial x_1} \\ \frac{\partial g}{\partial x_2} \\ \frac{\partial g}{\partial x_3} \\ \vdots \\ \frac{\partial g}{\partial x_n} \end{array}\right) \] dan \[ \frac{\partial \mathbf{g}}{\partial \mathbf{x^T}}= \left(\frac{\partial \mathbf{g}}{\partial \mathbf{x}}\right)^T = \left( \begin{array}{c} \frac{\partial g}{\partial x_1} \\ \frac{\partial g}{\partial x_2} \\ \frac{\partial g}{\partial x_3} \\ \cdots \\ \frac{\partial g}{\partial x_n} \end{array}\right) \]

Contoh
Jika $\mathbf{g}=\left(2x_1+5x_2\right)$, dan $\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array}\right)$, maka \begin{align*} \frac{\partial \mathbf{g}}{\partial \mathbf{x}} = \left( \begin{array}{c} 2\\ 5 \end{array} \right) \end{align*}
Contoh
Jika \[\mathbf{g}=\left( \begin{array}{c} g_1 \\ g_2 \\ g_3 \\ \vdots \\ g_n \end{array} \right),\text{ dan } \mathbf{x}=\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \vdots \\ x_p \end{array} \right), \] maka yang dapat dilakukan adalah $\displaystyle\frac{\partial \mathbf{g}}{\partial \mathbf{x}^T}$ yang menghasilkan matriks $n\times p$ atau $\displaystyle \frac{\partial \mathbf{g}^T}{\partial \mathbf{x}}$ yang menghasilkan matriks $p\times n.$ \[\frac{\partial \mathbf{g}}{\partial \mathbf{x}^T}=\left( \begin{array}{cccc} d g_1/ dx_1 &d g_1/ dx_2& \cdots & d g_1/ dx_p \\ d g_2/ dx_1 &d g_2/ dx_2& \cdots & d g_2/ dx_p \\ d g_3/ dx_1 &d g_3/ dx_2& \cdots & d g_3/ dx_p \\ \vdots &\vdots & \ddots & \vdots \\ d g_n/ dx_1 &d g_n/ dx_2& \cdots & d g_n/ dx_p \end{array} \right) \]
Contoh
Misalkan $\displaystyle\mathbf{A}=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \text{ dan } \mathbf{A}=\begin{pmatrix} 1& 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ maka
  2. $\displaystyle \mathbf{Ax}=\begin{pmatrix} x_1+2x_2 \\ 2x_1+x_2 \end{pmatrix};$
  3. $\displaystyle \mathbf{x^TAx}=\begin{pmatrix} x_1(x_1+2x_2)+x_2 (2x_1+x_2)\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} x_1^2+4x_1x_2+x_2^2 \end{pmatrix}$ yang merupakan bentuk kuadrat;
  4. $\displaystyle \frac{\partial \mathbf{Ax}}{\partial \mathbf{x}^T}= \begin{pmatrix} \displaystyle\frac{\partial (x_1+2x_2)}{\partial x_1}&\displaystyle\frac{\partial (x_1+2x_2)}{\partial x_2}\\ \displaystyle\frac{\partial (2x_1+x_2)}{\partial x_1}&\displaystyle\frac{\partial (2x_1+x_2)}{\partial x_2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&2 \\ 2& 1 \end{pmatrix}=\mathbf{A};$
  5. Turunan $ \mathbf{x^TAx}$ terhadap $\mathbf{x}$ adalah \begin{align*} \displaystyle \frac{\partial \mathbf{x^TAx}} {\partial \mathbf{x}}& = \begin{pmatrix}\displaystyle \frac{\partial (x_1^2+4x_1x_2+x_2^2)}{\partial x_1}\\ \displaystyle\frac{\partial (x_1^2+4x_1x_2+x_2^2)}{\partial x_2} \end{pmatrix}\\ & = \begin{pmatrix} 2x_1 + 4 x_2 \\ 4x_1 + 2x_2 \end{pmatrix}\\& = 2 \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}\\ & =2\mathbf{Ax}; \end{align*}
  6. Karena $\displaystyle\frac{\partial \mathbf{x^TAx}}{\partial \mathbf{x^T}}$ pada dasarnya adalah suatu konstanta, maka juga dapat diturunkan terhadap $\mathbf{x}^T$. \begin{align*} \frac{\partial \mathbf{x^TAx}}{\partial \mathbf{x^T}}& = \begin{pmatrix}\displaystyle \frac{\partial (x_1^2+4x_1x_2+x_2^2)}{\partial x_1}& \displaystyle\frac{\partial (x_1^2+4x_1x_2+x_2^2)}{\partial x_2} \end{pmatrix} \\& = \begin{pmatrix} 2x_1 + 4 x_2 & 4x_1 + 2x_2 \end{pmatrix}\\&= 2 \begin{pmatrix} x_1 & x_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\\ & =2\mathbf{x^TA};\end{align*}
  7. berdasarkan kedua hasil di atas maka, maka diperoleh $\displaystyle \frac{\partial ^2 \left[\mathbf{x^TAx}\right]}{\partial \mathbf{x}^T \partial \mathbf{x}}=2\mathbf{A}.$

Teorema Misalkan $\mathbf{A}$ adalah matriks simetrik berordo $n\times n$ dan $\mathbf{x}$ adalah vektor baris berordo $n$, maka
  2. $\displaystyle \frac{\partial \mathbf{x^TA}}{\partial \mathbf{x}}=\frac{\partial \mathbf{Ax}}{\partial \mathbf{x^T}}=\mathbf{A}$
  3. $\displaystyle \frac{\partial \mathbf{x^TAx}}{\partial \mathbf{x}}=\mathbf{2Ax}$
  4. $\displaystyle \frac{\partial ^2 \left[\mathbf{x^TAx}\right]}{\partial \mathbf{x}^T\partial \mathbf{x}}=\mathbf{2A}$


Contoh Misalkan $\displaystyle \mathbf{A}=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$, $\displaystyle \mathbf{x}= \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}, $ sedangkan $x_1=2t_1+3t_2$ dan $x_2=3t_1+t_2$, jika $\mathbf{t}=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$, maka:
  2. $\mathbf{x=Bt}$ dan $\displaystyle\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial \mathbf{ t}^T}= \mathbf{B};$
  3. $\mathbf{Ax} =\begin{pmatrix} 2x_1+x_2 \\ x_1+3x_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2(2t_1+3t_2)+3t_1+t_2 \\ 2t_1+3t_2+3(3t_1+t2) \end{pmatrix},$ sehingga $ \displaystyle\frac{\partial \mathbf{Ax}}{\partial \mathbf{ x}^T}= \mathbf{A}$ dan
  4. $\displaystyle\frac{\partial \mathbf{Ax}}{\partial \mathbf{ t}^T} = \begin{pmatrix} 7 & 7 \\ 11 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 3 & 1 \end{pmatrix}=\mathbf{AB}= \frac{\partial \mathbf{Ax}}{\partial \mathbf{ x}^T} \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial \mathbf{ t}^T}. $

Tanpa kehilangan generalisasi, hasil di atas dapat diperluas pada hasil berikut. Bukti umum dari hasil berikut tidak dibahas dalam buku ini.
Teorema Misalkan $\mathbf{y}$ adalah vektor peubah yang merupakan fungsi dari $\mathbf{x}$, yaitu merupakan hasil perkalian antara $\mathbf{x}$ dengan suatu matriks simetrik dan $\mathbf{F}$ adalah matriks peubah yang merupakan fungsi dari $\mathbf{y}$, yaitu hasil kali $\mathbf{y}$ dengan suatu matriks simetrik, maka berlaku sifat turunan rantai sebagai berikut: \[ \frac{\partial \mathbf{F}}{\partial \mathbf{x}}=\frac{\partial \mathbf{F}}{\partial \mathbf{y}^T}\frac{\partial \mathbf{y}}{\partial \mathbf{x}} \text{ atau } \frac{\partial \mathbf{F}}{\partial \mathbf{x}}=\frac{\partial \mathbf{F}}{\partial \mathbf{y}}\frac{\partial \mathbf{y}^T}{\partial \mathbf{x}}\]

Contoh Misalkan $\mathbf{X,Y}$ dan $\boldsymbol{\beta}$ matriks-matriks sedemikian sehingga \[\mathbf{Q}=\left(\mathbf{Y-X}\boldsymbol{\beta}\right)^T \left(\mathbf{Y-X}\boldsymbol{\beta}\right)\] adalah suatu bentuk kuadrat (matriks $1 \times 1$). Tentukan
  2. $\partial \mathbf{Q}/\partial \boldsymbol{\beta}$
  3. $\partial ^2 \mathbf{Q}/\;(\partial \boldsymbol{\beta}^T\partial \boldsymbol{\beta})$

Jawab: \begin{align*} \mathbf{Q}&= \left(\mathbf{Y-X}\boldsymbol{\beta}\right)^T \left(\mathbf{Y-X}\boldsymbol{\beta}\right) \\ &= \left(\mathbf{Y}^T-\boldsymbol{\beta}^T\mathbf{X}^T\right) \left(\mathbf{Y-X}\boldsymbol{\beta}\right)\\ &= \mathbf{Y}^T\mathbf{Y}-\boldsymbol{\beta}^T\mathbf{X^TY}-\left(\boldsymbol{\beta}^T\mathbf{X^TY}\right)^T+ \boldsymbol{\beta}^T\mathbf{X}^T\mathbf{X}\boldsymbol{\beta} \end{align*} mengingat $\boldsymbol{\beta}^T\mathbf{X^TY} $ adalah matriks $1\times 1$, maka identik dengan trasfosenya dan persamaan di atas menjadi \begin{align*} \mathbf{Q} &= \mathbf{Y}^T\mathbf{Y}-2\boldsymbol{\beta}^T\mathbf{X^TY}+ \boldsymbol{\beta}^T\mathbf{X}^T\mathbf{X}\boldsymbol{\beta}. \end{align*} Maka \begin{align*} \frac{\partial \mathbf{Q}}{\partial \boldsymbol{\beta}} &= \mathbf{0}-2 \mathbf{X^TY}+ 2 \mathbf{X^TX}\boldsymbol{\beta} \\ &=2 \left( \mathbf{X^TX}\boldsymbol{\beta}-\mathbf{X^TY}\right), \text{ dan }\\ \frac{\partial ^2 \mathbf{Q}}{\partial \boldsymbol{\beta}^T \partial \boldsymbol{\beta}} &= 2\mathbf{X^TX.} \end{align*}
Contoh Misalkan $\mathbf{W}$ adalah matriks simetrik, $\mathbf{X,Y}$ dan $\boldsymbol{\beta}$ matriks-matriks sedemikian sehingga \[\mathbf{Q}=\left(\mathbf{Y-X}\boldsymbol{\beta}\right)^T\mathbf{W} \left(\mathbf{Y-X}\boldsymbol{\beta}\right)\label{eq:wls}\] adalah suatu bentuk kuadrat (matriks $1 \times 1$). Tentukan
  2. $\partial \mathbf{Q}/\partial \boldsymbol{\beta}$
  3. $\partial ^2 \mathbf{Q}/\;(\partial \boldsymbol{\beta}^T\partial \boldsymbol{\beta})$

Aplikasi R untuk Operasi Matriks

Untuk aplikasi R tentang matriks dan operasinya, selain menggunakan beberapa fungsi yang telah didefinisikan secara internal, pembaca dapat juga mencari paket/library yang berkaitan dengan matriks. \subsection{ Mendefinisikan matriks} Matriks dapat didefinisikan dengan beberapa cara yaitu:
  2. memberikan data elemen matriks (c(a11,a21,a31,...,a21,a22,...) yang selanjutnya disusun dalam bentuk baris dan kolom. Ingat bahwa R akan melengkapi seluruh barus kolom 1 baru melengkapi kolom 2 dan seterusnya. 
    >x<-seq(1,10,1)
>xmat<-matrix(x,2,5)
>ymat<-matrix(x,5,2)
>xmat
     [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,]    1    3    5    7    9
[2,]    2    4    6    8   10
> ymat
     [,1] [,2]
[1,]    1    6
[2,]    2    7
[3,]    3    8
[4,]    4    9
[5,]    5   10
  3. menjadikan matriks data yang sudah tersusun dalam bentuk matriks dengan perintah as.matrix(). Untuk matriks berukuran besar, mungkin tidak praktis mencetak seluruh elemennya, tetapi kita bisa memeriksa dimensi/ordonya dengan dim(). Pada contoh berikut data kecepatan dan jarak tempuh mobil yang berupa tabel dengan 50 baris dan 2 kolom didefinisikan menjadi matriks berordo 50 $\times 2$. 
    >data(cars)
>x<-as.matrix(cars)
>dim(x)
[1] 50  2
>amat<-x%*%t(x)
>bmat<-t(x)%*%x
>dim(amat)
[1] 50 50
>dim(bmat)
[1] 2 2
  4. beberapa matriks didefinisikan secara khusus diantaranya adalah
    2. matriks dengan elemen yang sama, misalnya $k$ dengan ormo $m\times n$. 
      >matrix(0,2,3)
     [,1] [,2] [,3]
[1,]    0    0    0
[2,]    0    0    0
>matrix(1,2,3)
     [,1] [,2] [,3]
[1,]    1    1    1
[2,]    1    1    1 
>
    3. matriks diagonal atau matriks identitas. 
      > diag(1,3)
     [,1] [,2] [,3]
[1,]    1    0    0
[2,]    0    1    0
[3,]    0    0    1

> diag(2,3)
     [,1] [,2] [,3]
[1,]    2    0    0
[2,]    0    2    0
[3,]    0    0    2
>diag(c(1,2,3,4,5))
     [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,]    1    0    0    0    0
[2,]    0    2    0    0    0
[3,]    0    0    3    0    0
[4,]    0    0    0    4    0
[5,]    0    0    0    0    5
      Sebaliknya jika diag()dilakukan pada matrik bujur sangkar, maka fungsi ini akan mengekstrak diagonal matriks tersebut. 
      > diag(bmat)
 speed   dist
 13228 124903

Operasi Matriks dengan R

Beberapa operasi matriks yang dapat dilakukan yang terkait dengan kebutuhan statistika diantaranya adalah perkalian matriks, determinan ((det()) invers dan transpose matriks. 
» xmat%*%ymat
     [,1] [,2]
[1,]   95  220
[2,]  110  260
>det(xmat%*%ymat)
[1] 500
> solve(xmat%*%ymat)
      [,1]  [,2]
[1,]  0.52 -0.44
[2,] -0.22  0.19
» det(ymat%*%xmat)
[1] 0
» solve(ymat%*%xmat) #tes walau kita tahu det=0.s
Error in ... system is exactly singular

Latihan R langsung Online

Bacaan Lebih Lanjut

Referensi umum mengenai matriks dapat dijumpai pada buku-buku teks tentang matriks atau aljabar linier. Namun tidak banyak referensi yang membahas turunan matriks/ vektor terutama yang terkait dengan statistika. Pembahasan dalam bab ini, terutama mengenai aplikasi matrks dalam statistika, dapat dijumpai pada Searle (1982, Harville (1997) Neter et al. (1985).

Latihan Soal-soal

  2. Sebutkan definisi matriks berikut dan beri masing- masing 1 contoh.
    2. Matriks diagonal
    3. Matriks skalar
    4. Matriks simetrik
    5. Matriks nonsinguler.
  3. Buatlah dua buah matriks ($\mathbf{A, B}$), masing- masing berordo $2 \times 2$ , selanjutnya hitung
    2. $\mathbf{ AB}$
    3. $\mathbf{BA}$
    4. $\mathbf{ A}^{-1}$
  4. Selesaikan Contoh dengan persamaan \eqref{eq:wls} sebelumnya secara lengkap.
  5. Selidiki apakah matriks-matriks berikut mempunyai rank kolom lengkap atau tidak.
    2. $\displaystyle \mathbf{A}= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 3 & 3 & 6 \\ 2 & 4 & 1 \\ 5 & 5 & 3 \\ 6 & 2 &-1 \end{pmatrix}$
    3. $\displaystyle \mathbf{B}= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 &1\\ 5 & 5 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 1 & 2\\ 6 & 2 &-1 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 0 \end{pmatrix} $
    4. $\displaystyle \mathbf{C}= \begin{pmatrix} 3 & 3 & 6 & 3 & 3 & -1 \\ 1 & 2 & 4 &1 & 1 & 1 \\ 5 & 5 & 3 & 0 & 0 & 1\\ 6 & 2 &-1 & 4 & 3 & 5\\ 2 & 4 & 1 & 2 & 5 & 10 \end{pmatrix} $
  6. Diketahui $\displaystyle \mathbf{A}= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 2 & 3 & 6 \\ 4 & 6 & 1 \end{pmatrix}$ dan $\displaystyle \mathbf{x}= \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}.$ Tentukan
    2. $\mathbf{Q=X^TAX}$
    3. $\displaystyle \frac{\partial \mathbf{Q}}{\partial \mathbf{x}}$
    4. $\displaystyle \frac{\partial ^2 \mathbf{Q}}{\partial \mathbf{x}^T \partial \mathbf{x}}$
    baik dengan cara menurunkan unsur-unsurnya maupun dengan cara keseluruhan dengan cara matriks.