LogoUNEJ UNEJ PONSTAT

,

ALJABAR MATRIKS UNTUK STATISTIKA

Oleh: I Made Tirta. 2016. Laboratorium Statistika, FMIPA Universitas Jember Jalan Kalimantan 27 Jember 68121

Tujuan Umum

Mahasiswa memahami aljabar matriks, turunan yang berkaitan dengan matriks serta menggunakannya dalam statistika

Tujuan Khusus

Mahasiswa dapat
  1. menyebutkan jenis- jenis matriks terutama yang banyak dijumpai dalam statistika
  2. menyelesaikan operasi matriks
  3. mencari turunan suatu matriks atau vektor.

Materi

  1. Definisi dan jenis- jenis matriks
  2. Operasi hitung matriks (penjumlahan, pengurangan, perkalian, transpose)
  3. Bentuk kuadrat (quadratic form) dan turunannya.

Ringkasan Teori

Simak uraian teori yang lebih lengkap

Defenisi dan Jenis Matriks

Matriks berordo $n\times m$ dinotasikan dengan $\mathbf{A}_{m\times n} = [ a_{ij} ],$ dalam hal ini $a_{ij}$ adalah unsur yang berada pada baris ke $i$ dan kolom ke $j$. $$\mathbf{A}=\begin{pmatrix} a_{ij} \end{pmatrix}= =\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}& a_{13}& \ldots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22}&a_{23}& \ldots& a_{2n}\\ a_{31} & a_{32}&a_{33}& \ldots& a_{3n}\\ \vdots&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ a_{m1} & a_{m2}&a_{m3}& \ldots& a_{mn} \end{pmatrix} $$ Beberapa matriks khusus yang banyak digunakan dalam statistika diantaranya adalah
  1. matriks bujur sangkar, jika $m=n$
  2. matriks diagonal, adalah mariks bujur sangkar dengan $ a_{ij}=0,$ untuk $i\neq j$
  3. matriks skalar adalah matriks diagonal yang unsur diagonal utamanya sama, misalnya $k$,
  4. matriks identitas adalah matriks skalar dengan $k=1$
  5. matriks simetrik adalah matriks bujur sangkar dengan $a_{ij}=a_{ji}$ untuk $\forall i,j$
  6. matriks simetrik juling (skew-symmetrics) adalah matriks bujur sangkar dengan $a_{ij}=-a_{ji}$ untuk $\forall i\neq j$
  7. matriks Toeflitz adalah matriks bujur sangkar dengan $$\mathbf{A}=\begin{pmatrix} a_{ij} \end{pmatrix}= =\begin{pmatrix} a_{11} & b& c& \ldots & d\\ b & a_{22}&b& \ldots& \\ c & b&a_{33}& \ldots& c\\ \vdots&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ d & &c& \ldots& a_{nn} \end{pmatrix} $$
  8. Matriks uniform adalah matriks simetrik yang semua unsurnya selain diagonal adalah sama (misalnya $k$) $a_{ij}=k,\;\forall i\neq j$.
  9. Matriks Segitiga atas Upper triangular adalah matriks bujursangkar yang semua unsurnya dibawah diagonal utamanya adalah 0 $a_{ij}=0,\;\forall i > j$.
  10. Matriks Segitiga bawah Lower triangular adalah matriks bujursangkar yang semua unsurnya di atas diagonal utamanya adalah 0 $a_{ij}=0,\;\forall i < j$.
  11. Matriks nol (0) adalah matriks yang semua unsurnya adalah $0$.
Dalam statistika, matriks simetrik yang banyak ditemukan adalah matriks korelasi ($\mathbf{R}$) dan matriks varians-kovarians($\mathbf{V}$). $$ \mathbf{R}= \left( \begin{array}{cccc} 1 & r_{12} & \cdots &r_{1n}\\ r_{21}& 1 &\cdots & r_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ r_{n1} & r_{2n} & \cdots & 1 \end{array}\right) \text{ dan }\mathbf{V}= \left( \begin{array}{cccc} \sigma_1^2 & \sigma_{12} & \cdots &\sigma_{1n}\\ \sigma_{21}& \sigma_2^2 &\cdots & \sigma_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \sigma_{n1} & \sigma_{2n} & \cdots & \sigma^2_n \end{array}\right) $$

Operasi Matriks dan Sifat-sifatnya

Operasi matriks yang penting yang banyak dipergunakan dalam statistika diantaranya adalah operasi uner yaitu: invers dan transfose dan operasi biner yaitu penjumlahan dan perkalian.
Operasi uner
Untuk melakukan operasi uner diperlukan cukup satu matriks. Yang termasuk operasi uner adalah operasi invers baik untuk penjumlahan maupun perkalian dan operasi transfus.

  1. Inverse penjumlahan suatu matriks $\mathbf{A}$ ditulis $\mathbf{-A}$, adalah matriks yang unsur-unsurnya adalah negatif dari unsur-unsur matrks $\mathbf{A}$
  2. Transfos matriks $\mathbf{A}$ (berordo $m\times n$) ditulis $\mathbf{A}^T$ adalah matriks berordo $n\times m$ yang diperoleh dengan menukar baris matriks $\mathbf{A}$ menjadi kolom dan sebaliknya, yaitu jika $\mathbf{B}=\mathbf{A}^T$, maka $b_{ij}=a_{ji}.$ Jika $\mathbf{A}$ adalah matriks simetris, maka $\mathbf{A}=\mathbf{A}^T$ dan jika $\mathbf{A}$ adalah matriks simetris, maka $\mathbf{A}=-\mathbf{A}^T$
  3. Invers perkalian suatu matriks $\mathbf{A}$ ditulis $\mathbf{A}^{-1},$ adalah matriks yang jika dikalikan dengan $\mathbf{A}$ menghasilkan matriks identitas yaitu $\mathbf{A}.\mathbf{A}^{-1} =\mathbf{A}^{-1}. \mathbf{A} = \mathbf{I}.$

Operasi biner
  1. Penjumlahan Matriks. Matriks yang bisa dijumlahkan (ditambah dan dikurangi) adalah matriks yang berdordo sama. Matriks yang berordo sama disebut compormable terhadap penjumlahan. Jika $\mathbf{A}_{mn}=\left(a_{ij}\right)$ dan $\mathbf{B}_{mn}=\left(b_{ij}\right)\; i=1,2,\cdots,m; j=1,2,\cdots,n$ maka $\mathbf{A+B}$ adalah matriks ${\mathbf C}_{mn}$ dengan unsur unsurnya adalah $c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$.
  2. Selisih dua matriks didefinisikan sebagai jumlah dengan negatif matriks pengurang, yaitu $\mathbf{A-B}=\mathbf{A}+(-\mathbf{B}).$
  3. Perkalian matriks Perkalian matriks bisa dilakukan apabila banyaknya kolom matriks yang terkali sama dengan banyaknya baris matriks pengali. Matriks-matriks yang dapat dikalikan disebut matriks- matriks yang conformable terhadap perkalian. Selain perkalian dengan sesama matriks, matriks juga dapat dikalikan dengan skalar. Hasil kali suatu matriks dengan suatu skalar adalah matriks yang unsur- unsurnya adalah hasil kali setiap unsur matriks dengan skalar tersebut, yaitu $k\mathbf{A}=\left(ka_{ij}\right).$
  4. Hasil kali dua matriks adalah matriks yang berordo sedemikian sehingga barisnya sama dengan baris matriks yang dikalikan dan kolomnya sama dengan kolom matriks pengali. Unsur unsur dari matruiks pengali merupakan kombinasi linier dari baris matriks terkali dengan kolom dari matriks pengali. Jadi jika $\mathbf{A}_{m\times n} \mathbf{B}_{n\times p}$, maka $\mathbf{C}_{m\times p}=AB$ dengan \begin{align*} c_{ik}&= a_{i1}b_{1k}+a_{i2}b_{2k}+\cdots+a_{in}b_{nk} \\&=\sum_{j=1}^n a_{ij}b_{jk}. \end{align*}
  5. Determinan dari suatu matriks bujur sangkar $\mathbf{A}$, dinotasikan dengan $|\mathbf{A}|$ atau det($\mathbf{A}$) adalah fungsi skalar yang didefinisikan sedemikian rupa sehingga merupakan jumlah hasilkali unsur- unsur yang sejajar diagonal utama dikurangi jumlah unsur- unsur yang sejajar diagonal lain. Dalam bentuk notasi $$|\mathbf{A}|=\prod_{i=1}^na_{ii}+ \prod_{i=1}^n a_{i,i+1}+\cdots +a_{1n}\prod _{i=1}^{n-1} a_{i+1,i}-\prod_{i=1}^n a_{n+1-i,i}-\cdots -a_{11}\prod_{i=2}^{n-1} a_{n+2-i,i}. $$

    Determinan bisa juga dihitung dengan mengalikan nilai karakteristik. $$|\mathbf{A}|=\prod_{i}^p \lambda_i;\; \text{ dengan $\lambda_i$ adalah nilaikarakteristik $\mathbf{A}$} $$ Matriks yang determinannya tidak nol disebut matriks nonsinguler. Sedangkan matriks yang determinannya 0 disebut matriks singuler.

  6. Teras( trace ) suatu matriks bujur sangkar adalah jumlah unsur diagonal utama dari matriks tersebut, yaitu tr$(\mathbf{A})=\sum_{i=1}^n a_{ii}.$
  7. Untuk matriks bujur sangkar beordo 2, cara mencari invers adalah sebagai berikut. Jika $\displaystyle \mathbf{A}=\begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix},$ maka
    1. $\mid\mathbf{A}\mid=ac-bd$
    2. $\mathbf{A}^{-1} =\frac{1}{|\mathbf{A}|} \begin{pmatrix} d & -c \\ -b & a \end{pmatrix}$
  8. Rank suatu matriks adalah bilangan yang menunjukkan banyaknya maksimum kolom yang saling independen. Suatu matriks dikatakan mempunyai rank penuh jika ranknya sama dengan banyaknya kolom. Jika matriks $\mathbf{A}_{np}$ bukan matriks bujur sangkar ($n
  9. Dekomposisi SVD ( Singular Value Decomposition)
  10. adalah faktorisasi/ dekomposisi matriks $\mathbf{A}$ menjadi $\mathbf{A=VDU^T}$ dengan $\mathbf{D}$ adalah matriks diagonal
  11. Dekomposisi Cholesky
  12. adalah faktorisasi/ dekomposisi matriks positif definit $\mathbf{A}$ menjadi $\mathbf{A=U^TU}$ dengan $\mathbf{U}$ adalah matriks segitiga atas
  13. Matriks dikatakan idempoten jika berlaku $\mathbf{AA=A}$

Aplikasi R untuk Operasi Matriks

Untuk aplikasi R tentang matriks dan operasinya, selain menggunakan beberapa fungsi yang telah didefinisikan secara internal, pembaca dapat juga mencari paket/library yang berkaitan dengan matriks.

Mendefinisikan matriks

Matriks dapat didefinisikan dengan beberapa cara yaitu:
  1. memberikan data elemen matriks c(a11,a21,a31,...,a21,a22,...) yang selanjutnya disusun dalam bentuk baris dan kolom. Ingat bahwa R akan melengkapi seluruh barus kolom 1 baru melengkapi kolom 2 dan seterusnya.
    matrix(data = ..., nrow = 1, ncol = 1, byrow = FALSE,
           dimnames = NULL)
    as.matrix(x, ...)
    
  2. menjadikan matriks data yang sudah tersusun dalam bentuk matriks dengan perintah as.matrix(). Untuk matriks berukuran besar, mungkin tidak praktis mencetak seluruh elemennya, tetapi kita bisa memeriksa dimensi/ordonya dengan dim(). Pada contoh berikut data kecepatan dan jarak tempuh mobil yang berupa tabel dengan 50 baris dan 2 kolom didefinisikan menjadi matriks berordo 50 $\times 2$.
    >data(cars)
    >x<-as.matrix(cars)
    
  3. beberapa matriks didefinisikan secara khusus diantaranya adalah

Ringkasan Fungsi dan Paket terkait Matriks

No Fungsi Paket Sintaks Keterangan
1 matrix base matrix(data,nbaris,nkolom) menyusun matriks dengan elemen dari data dengan ordo nbaris dan nkolom
2 eigen eigen(matriks,...) menghitung nilai dan vektor karakteristik (eigen)
4 apply apply(matriks,val,fun) menghitung marjin suatu matriks, val=1 marjin baris, val=2 marjin kolom, fun=fungsi internal, seperti mean, sum, var , atau fungsi yang didefinisikan sendiri
4 operasi uner t(matriks) menghitung transpose matriks
4 solve(m) invers matriks
4 diagonal diag(m) mengekstraks elemen diagonal dari matriks bujur sangkar
4 teras (trace) trace(m) menghitung jumlah dari elemen diagonal matriks bujur sangkar
4 Operasi biner m1%*%m2 perkaian matriks seperti umumnya
4 m1*m2 perkaian matriks berdasarkan kesesuaian elemen
3 is....? matrixcalc is.... matrix(matriks) memeriksa apakah sebuah matriks memenuhi sifat tertentu
3 toeplitz toeplitz(data) membentuk matriks Toeplitz
3 upper triangle upper.triangle(matriks) mengekstrak bagian segitiga atas dari sebuat matriks bujursangkar m dan menyajikan dalam bentuk matriks
3 lower triangle lower.triangle(matriks) mengekstrak bagian segitiga bawah dari sebuat matriks bujursangkar m dan menyajikan dalam bentuk matriks
3 rank Matrix rankMatrix(matriks) menghitung rank matriks

Komputasi Langsung Matriks dengan R


Membangkitkan matriks data

Membangkitkan matriks 1 Level

Baris Matriks . Kolom Matriks .

Jenis matriks:

M1


Membangkitkan matriks 2 Baris Matriks . Kolom Matriks .
M2



Operasi Uner


Matriks:
Matriks terpilih untuk pemeriksaan jenis matriks dan operasi uner

Pemeriksaan karakteristik matriks

Apakah matriks di atas termasuk:
Hasil pemeriksaan ("TRUE=BENAR Termasuk jenis yang dimaksud", "FALSE=TIDAK termasuk jenis dimaksud")

Hasil perhitungan determinan, rank, nilai dan vektor Eigen (Lihat Banerjee & Roy, 2014)
Bandingkan besarnya determinan dan hasil kali nilai eigen untuk setiap jenis matriks ! ($|\mathbf{M}|=\prod_{i=1}^p\lambda_i$)



Operasi uner matriks

Operasi:
Untuk Cholesky, check bahwa $\mathbf{U^TU=M}$ Untuk SVD, check bahwa $\mathbf{VDU^T=M}$ (Lihat Banerjee & Roy, 2014)
Hasil operasi



Operasi konstanta dengan matriks

konstanta k: . Operasi
Hasil operasi

Operasi Biner Matriks

Operasi:
Hasil operasi

Sumber Bacaan Teori:

  1. Davies, T.M., 2015. The Book of R. Early Access. No Startch Press
  2. Novomestky, F. 2012. matrixcalc: Collection of functions for matrix calculations. R package version 1.0-3. http://CRAN.R-project.org/package=matrixcalc
  3. Venables, W. N. & Ripley, B. D. 2002. Modern Applied Statistics with S. Fourth Edition. Springer, New York. ISBN 0-387-95457-0
  4. Searle. S.R. 1982. Matrix Algebra Useful for Statistics. John Wiley and Sons, New York, 1st edition.
  5. Banerjee, S. and Roy, A. 2014. Linear Algebra and Matrix Analysis for Statistics. CRC Press