TOPIK: Simulasi dengan Invers Kumulatif

Tujuan Umum

Setelah mempelajari materi ini mahasiswa diharapkan menguasai prinsip simulasi dan mampu melakukan simulasi sesuai keperluan dan kondisi

Tujuan Khusus

Setelah mempelajari materi ini mahasiswa secara khusus diharapkan dapat:
    1. menjelaskan prinsip bilangan acak ;
    2. menjelaskan tiga cara utama membangkitkan data
    3. membangkitkan data dengan invers kumulatif
    4. membangkitkan data dengan A-R
    5. Menghitung Pi dengan simulasi
    6. Menghitung Integral hingga dengan simulasi

Materi

    1. Konsep bilangan acak
    2. Transformasi Invers Kumulatif
    3. Konsep A-R
    4. Menghitung Integral hingga dan Pi
    5. Membangkitkan data dengan MCMC

Uraian Teori

Pada bagian ini disajikan secara ringkas teori yang mendasari/ terkait topik yang telah disampaikan sebelumnya

Invers Kumulatif

dst ... untuk fungsi kepadatan kuadratik umum $$f(x,a,k)=2kx,\; 0\leq x\leq a$$ $k$ ditentukan berdasarkan nilai $a$, yaitu $k=1/a^2$. sehingga $$\int_{R_X}f(x)\,dx=1$$ Secara teoritis distribusi ini akan memiliki mean ($\mu_X$) dan varians $\sigma^2_X$ sebagai berikut $$\mu_X=\frac{2a}{3} \;\text{ dan } \sigma^2_X = $$ Fungsi kumulatifnya adalah $\displaystyle{F(x)=\frac{x^2}{a^2}}.$ Invers kumulatifnya adalah $$F^{-1}(x)=a\sqrt{x}.$$ Langkah-langkah simulasi
    1. Bangkitkan $U=U(0,1)$ sebanyak yang diperlukan.
    2. Substitusikan $U$ ke fungsi invers, yaitu $X=F^{1}(U)$ sebanyak yang diperlukan.
    3. Maka $X$ adalah data yang dimaksud.

Ilustrasi dengan R

Pada bagian ini disajikan ilustrasi contoh dengan R

Gambar x. Grafik Fungsi Peluang dan Histogram beberapa Distribusi

Sampel acak sebanyak memiliki Ringkasan statistika seperti berikut ini 





dengan Histogram


  




Simulasi MCMC


Simulasi dengan AR

Untuk pdf yang fungsi kumulatif atau invers kumulatifnya susah diturunkan.
Misalnya
$$f(x)=\frac{1}{\theta_2\sqrt{2\pi}} \exp\left[{\displaystyle{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\theta_1}{\theta_2}\right)^2}}\right];
\; -\infty < x < \infty $$
untuk suatu nilai $\theta_1 \in \Re, \theta_2 \in \Re^+$ tertentu. Secara teoritis kepadatan ini memiliki mean $\mu_X=\theta_1$ dan deviasi baku $\sigma_X=\theta_2$
dengan fungsi kepadatan sebagai berikut:




  

Dengan  
 

 





Bisa dilihat proporsi daerah diatas dan dibawah kurva apakah dipengaruhi oleh besarnya $\theta$.
Dalam hal membangkitkan data, karena bentuk kumulatif maupun inversnya tidak sederana, maka cara invers kumulatif
tidak mudah diterapkan untuk itu bisa dilakukan dengan metode AR ( Acceptance-Rejection)



  

Dengan  
 
 
 




Kondisi data yang dihasilkan adalah seperti berikut ini. Kolom pertama menunjukkan ringkasan data, sedangkan kolom kedua menunjukkan persentase (pr) data yang diterima (warna biru) dibandingkan dengan banyaknya pengambilan. Sisanya (100-pr) adalah data yang ditolak (warna merah)

   



  







Menghitung Pi

Dengan menggunakan prinsip menghitung integral dengan monte carlo.
$$\pi=4\int_0^1\sqrt{1-x^2}\;dx$$


  

Dengan sampel acak sebanyak 
 


Hasil akhir hasil simulasi dan selisihnya dengan $\pi$ eksak adalah


  



Ringkasan seluruh progres adalah


  





Simulasi Bivariat Normal dengan MCMC Gibb Sampler

Gibb Sampler adalah cara membangkitkan data multivariat (berkorelasi) dengan membangkitkan
 data independen secara kondisional
secara berulang-ulang.


  

Mean X ($\mu_X$) 
 
deviasi baku ($\sigma_X$)
 
Mean Y ($\mu_Y$) 
 
deviasi baku Y ($\sigma_Y$)
 
korelasi (X,Y) $\rho_{XY} $
 

Dengan sampel acak sebanyak 
 
pemanasan sebanyak 
 











  






 Tugas 



    1. Bagaimana hubungan antara bentuk fungsi kepadatan (terutama kesimetrisan) dengan besarnya parameter $p$, untuk distribusi
Binomial, Geometri, dan Negatif Binomial ?


    2. Bagaimana hubungan antara bentuk fungsi kepadatan dengan besarnya parameter $\lambda$, untuk distribusi
Poisson ? 


    2. Untuk nilai $n,p,\lambda$ berapa anda melihat distribusi Binomial cukup dekat dengan
Poisson ? 



 Sumber Bacaan  Teori:

   
    [1] Tirta, IM 2003.  Pengantar Statistika Matematika (Diktat Kuliah).
       Jurusan Matematika FMIPA UNiversitas Jember 

  
     [2] Tirta, IM. 2014. Bab 5. Eksplorasi Data.   Presentasi dan Analisis Data dengan R. Unej Press 

  
     [3] Sahbaba B. 2012. Chapter 3. Data Exploration   Biostatistics with R . Springer 

   
     [4] Ramachandran KM. and Tsokos CP. 2012.    Mathematical Statistics With Aplication . Academic Press 

   
    [5] Wikipedia.  Normality Test 
   http://en.wikipedia.org/wiki/Normality_test [Akses 28 Oktober 2014]



Naskah ini dibuat dengan tujuan utama sebagai dokumen contoh (IMT).