\documentclass[12pt]{article}
%100\%   % test comment removal
\begin{document}

\section{Operasi Matriks dan Sifat-sifatnya}
Operasi matriks yang penting yang banyak dipergunakan dalam
statistika diantaranya adalah operasi uner
yaitu: invers dan transfose dan operasi biner
yaitu penjumlahan dan perkalian.

\subsection{Operasi uner}
Untuk melakukan operasi uner diperlukan cukup satu matriks. Yang
termasuk operasi uner adalah operasi invers baik untuk penjumlahan
maupun perkalian dan operasi transfus.


 
\begin{definition} Inverse penjumlahan suatu matriks $\mathbf{A}$ ditulis $\mathbf{-A}$,
adalah matriks yang unsur-unsurnya adalah negatif dari unsur-unsur
matrks $\mathbf{A}$
\end{definition}

\begin{example}
 \[\text{Jika }\mathbf{A}=\left(
\begin{array}{rrr}
3 & 1 & 5 \\  1 & -2 & 0 \\
5 & 0 & -4
\end{array}
\right),\text{ maka } \mathbf{-A}=\left(
\begin{array}{rrr}
-3 & -1 & -5 \\  -1 & 2 & 0 \\
-5 & 0 & 4
\end{array}
\right).\]
\end{example}

\begin{definition}
Transpos matriks $\mathbf{A}$ (berordo $m\times n$) ditulis
$\mathbf{A}^T$ adalah matriks berordo $n\times m$ yang diperoleh
dengan menukar baris matriks $\mathbf{A}$ menjadi kolom dan
sebaliknya, yaitu jika $\mathbf{B}=\mathbf{A}^T$, maka
$b_{ij}=a_{ji}.$
\end{definition}



\begin{example}
\noindent \[ \text{Jika } \mathbf{A}=
\begin{pmatrix}
4 & 5 \\
1 & 7 \\
2 & 4
\end{pmatrix}
\text{ maka } \mathbf{A^T}=
\begin{pmatrix}
4 & 1 & 2 \\
5 & 7  & 4
\end{pmatrix}\]

\end{example}
 
\begin{definition}
Matriks $\mathbf{A}$ adalah matriks simetris, 
jika dan hanya jika $\forall i,j $ berlaku $a_{ij}=a_{ji}$

\end{definition}

\begin{corollary}
 Jika $\mathbf{A}$ adalah matriks simetris, maka
$\mathbf{A}=\mathbf{A}^T$ 

\end{corollary}

\begin{definition}
Invers perkalian suatu matriks $\mathbf{A}$ ditulis
$\mathbf{A}^{-1},$ adalah matriks yang jika dikalikan dengan
$\mathbf{A}$ menghasilkan matriks identitas yaitu
$\mathbf{A}.\mathbf{A}^{-1} =\mathbf{A}^{-1}. \mathbf{A} =
\mathbf{I}.$ 

\end{definition}

\subsection{Operasi biner}
Dalam operasi matriks secara simbolik kita akan banyak menggunakan
notasi $\sum$(operator sigma) dan
$\prod$(operator Produk) Untuk itu dalam subbab ini akan
dibahas secara sepintas kedua notasi tersebut.


 
\begin{definition}
\[\sum_{i=1}^n f(x_i) =
f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_i)+\cdots+f(x_n).\]
\end{definition}

Sifat-sifat operator Sigma  diberikan dalam hasil berikut ini.

 
\begin{theorem} Sifat- sifat operator Sigma adalah \begin{enumerate}
\item Jika $k$ adalah suatu konstanta, maka $\displaystyle
\sum_{i=1}^n k = nk.$ \item Jika $k$ adalah suatu konstanta, dan
$f$ adalah fungsi dalam $x_i$
 maka
\[\displaystyle \sum_{i=1}^n k f(x_i) = k\sum_{i=1}^n  f(x_i).\]
\item Jika $k_1,\;k_2$ adalah konstanta dan $f(x_i)= x_i^2 + k_1x_i + k_2$, maka
\[\displaystyle \sum_{i=1}^n f(x_i)=\sum_{i=1}^n x_i^2 + k_1
\sum_{i=1}^n +nk_2.\]

\end{enumerate} 

\end{theorem}
\begin{proof}
\begin{eqnarray*}
1&\sum_{i=1}^n k & = \underbrace{k+k+\cdots +k}_n\\
  &             & = nk. \qed \\
2&\sum_{i=1}^n k f(x_i) & = k f(x_1) +k f(x_2) +\cdots +k f(x_n)\\
  &             & = k (f(x_1) + f(x_2) +\cdots + f(x_n)) \\
  &             & = k \sum_{i=1}^n f(x_i). \qed
\\
3&\sum_{i=1}^n f(x_i) & = \sum_{i=1}^n  \left(x_i^2 + k_1x_i +
                        k_2\right) \\
 &                   & =\left(x_1^2 + k_1x_1 + k_2\right)+ \cdots +
                       \left(x_n^2 + k_1x_n +  k_2\right) \\
 &                   & = x_1^2+\cdots+x_n^2 + k_1x_1+\cdots+k_1x_n
                        +\underbrace{k_2+\cdots+k_2}_n \\
 &                   & = \sum_{i=1}^n x_i^2 + \sum_{i=1}^n k_1x_i
                        + nk_2\\
 &                   & = \sum_{i=1}^n x_i^2 + k_1\sum_{i=1}^n x_i
                        + nk_2.\quad \qed
\end{eqnarray*}
\end{proof}
Untuk lebih meringkas notasi, kadang-kadang jumlah untuk seluruh
rentangan indeks hanya dinotasikan dengan tanda titik (.) untuk
indeks tersebut, misalnya
\begin{align*}
x_{i.} &= \sum_{j=1}^n x_{ij} \\
x_{.j} & = \sum_{i=1}^m x_{ij}.
\end{align*}

Jika operator $\sum$ merupakan penjumlahan yang berulang, maka
operator untuk perkalian berulang disebut operator $\prod$ yang
didefinisikan seperti berikut ini.

\begin{definition}\[\prod_{i=1}^n f(x_i) =
f(x_1)\times f(x_2) \times \cdots \times f(x_i)\times \cdots
\times f(x_n).\]
\end{definition}

Sedangkan sifat- sifat operator $\prod$ dinyatakan dalam hasil
berikut. 
 
\begin{theorem} Sifat- sifat operator $\prod$ adalah:
\begin{itemize} \item jika $k$ adalah suatu konstanta, maka
$\displaystyle \prod_{i=1}^n k = k^n;$ \item jika $k$ adalah suatu
konstanta, dan $f$ adalah fungsi dalam $x_i$
 maka
\[\displaystyle \prod_{i=1}^n k f(x_i) = k^n \prod_{i=1}^n
f(x_i);\] \item jika $k_1,\;k_2$ adalah konstanta dan $f(x_i)=
(x_i^2)  (k_1x_i) (k_2)$, maka \[\displaystyle \prod_{i=1}^n
f(x_i)=\prod_{i=1}^n x_i^2 \times k_1 ^n \prod_{i=1}^n x_i \times
k_2^n.\] \end{itemize} 
 Pembuktian hasil $\prod$ di atas
analog dengan pembuktian sifat- sifat operator $\sum$.
\end{theorem}
\subsubsection{Penjumlahan Matriks}

Matriks yang bisa dijumlahkan (ditambah dan dikurangi) adalah
matriks yang berdordo sama. Matriks yang berordo sama disebut 
compormable terhadap penjumlahan.
Penjumlahan matriks dilakukan dengan menjumlahkan unsur unsur yang
seletak, yaitu unsur unsur yang terletak pada baris dan kolom yang
sama atau yang mempunyai indeks yang sama.

\begin{definition}
Jika $\mathbf{A}=\left(a_{ij}\right)$ dan
$\mathbf{B}=\left(b_{ij}\right)\; i=1,2,\cdots,m; j=1,2,\cdots,n$
maka $\mathbf{A+B}$ adalah matriks $\mathbf C$ yang berordo
$m\times n$ dengan unsur unsurnya adalah $c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$.
\end{definition}
\begin{example}
\noindent Jika \[ \mathbf{A}=
\begin{pmatrix}
3&5 &\\\ 8 & 4 \\ 6 & 10
\end{pmatrix}
\text{ dan  } \mathbf{B}=
\begin{pmatrix}
6 &8 \\ 2 & 4 \\ 3 & 10
\end{pmatrix},
\]
maka
\[
\mathbf{A+B}=
\begin{pmatrix}
3+6 & 5+8 \\ 8+2 & 4+4 \\ 6+3 & 10+10
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
9 & 13 \\  10 &  8 \\ 9 & 20
\end{pmatrix}.
\]
\end{example}
\begin{definition}
Selisih dua matriks didefinisikan sebagai jumlah dengan negatif
matriks pengurang, yaitu $\mathbf{A-B}=\mathbf{A}+(-\mathbf{B}).$
\end{definition}

 
\begin{theorem} Sifat- sifat penting dari penjumlahan matriks adalah
\begin{table}
\begin{tabular}{ll} $\mathbf{ A+B=B+A}$ &
komutatif \\
$\mathbf{A+0=0+A}$ &        identitas\\
$\mathbf{A+(-A)=0}$ &    invers\\
 $\mathbf{ A+(B+C)=(A+B)+C }$ &   assosatif\\
 $\mathbf{ (A+B)^T = A^T + B^T }$ &      distribusi
transpus \end{tabular} 
\end{table}
\end{theorem}
\subsubsection{Perkalian matriks}
Perkalian  matriks bisa dilakukan apabila banyaknya kolom matriks
yang terkali sama dengan banyaknya baris matriks pengali.
Matriks-matriks yang dapat dikalikan disebut matriks- matriks yang
 conformable terhadap perkalian.
Selain perkalian dengan sesama matriks, matriks juga dapat
dikalikan dengan skalar.

\begin{definition}
Hasil kali suatu matriks dengan suatu skalar adalah matriks yang
unsur- unsurnya adalah hasil kali setiap unsur matriks dengan
skalar tersebut, yaitu $k\mathbf{A}=\left(ka_{ij}\right).$
\end{definition}

\begin{example}
\[3\left(
\begin{array}{rrr}
3 & -2 & -6 \\  1 & 2 & 0 \\
-5 & 0 & 4
\end{array}
\right)= 
\left(\begin{array}{rrr}
9 & -6 & -18 \\  3 & 6 & 0 \\
-15 & 0 & 12
\end{array}
\right)\]
\end{example}

\begin{definition}
Hasil kali dua matriks adalah matriks yang berordo sedemikian
sehingga barisnya sama dengan baris matriks yang dikalikan dan
kolomnya sama dengan kolom matriks pengali. Unsur unsur dari
matruiks pengali merupakan kombinasi linier dari baris matriks
terkali dengan kolom dari matriks pengali. Jadi jika
$\mathbf{A}_{m\times n} \mathbf{B}_{n\times p}$, maka
$\mathbf{C}_{m\times p}=\mathbf{AB}$  dengan
\begin{align*}
c_{ik}&= a_{i1}b_{1k}+a_{i2}b_{2k}+\cdots+a_{in}b_{nk}
\\&=\sum_{j=1}^n a_{ij}b_{jk}.
\end{align*}
\end{definition}

\begin{example}
Jika \[\mathbf{A}=\left(
\begin{array}{rrr}
3 & -2 & -6 \\  1 & 2 & 0 \\
-5 & 0 & 4
\end{array}
\right) \text{ dan } \mathbf{B}= \left(
\begin{array}{rrr}
3 & -1 & 2 \\  5 & 2 & 0 \\
0 & 2 & 4
\end{array}
\right),\] maka $ \mathbf{AB}$ \begin{align*}&=\left( {\small
\begin{array}{ccc}
(3)(3)+(-2)(5)+(-6)(0) & (3)(-1)+(-2)(2)+(-6)(2) & (3)(2)+(-2)(0)+(-6)(4) \\
 (1)(3)+(2)(5)+(0) (0) & (1)(-1)+(2)(2)+(0)(2) & (1)(2)+(2)(0)+(0)(4)  \\
(-5)(3)+(0)(5)+(4)(0) & (-5)(-1)+(0)(2)+(4)(2) &
(-5)(2)+(0)(0)+(4)(4)
\end{array}
}\right)\\
&= \left(
\begin{array}{rrr}
-1 & -19 & -18 \\
 13& 3 & 2\\
-15 & 13 & 6
\end{array}
\right).\end{align*}
\end{example}

\begin{theorem} Sifat- sifat operasi perkalian yang penting diantaranya
\begin{enumerate} \item Nonkomutatif, yaitu  secara  umum
$\mathbf{AB \neq BA};$ \item Assosiatif, yaitu
$\mathbf{(AB)C = A(BC)};$ \item Distributif perkalian
terhadap jumlah, yaitu $\mathbf{A(B+C)=AB+AC}.$ \item 
Distributif transfos terhadap perkalian, yaitu
$\mathbf{(AB)^T=B^TA^T}.$ \end{enumerate} \end{theorem}

\begin{definition}
Hasil kali bersesuaian dua matriks $ \mathbf{A, B}$ (tidak harus bujur sangkar) (pada R ditulis  A*B ) adalah matriks $\mathbf{C}$ 
yang berordo  sama $ \mathbf{A}$ dan $ \mathbf{B}$ dengan
$
c_{ij}= a_{ij}b_{ij},\;\forall i,j
$\end{definition}

\subsection{Determinan dan invers matriks}

\begin{definition}
Determinan dari suatu matriks bujur sangkar $\mathbf{A}$,
dinotasikan dengan $|\mathbf{A}|$ atau det($\mathbf{A}$) adalah
fungsi skalar yang didefinisikan sedemikian rupa sehingga
merupakan jumlah hasilkali unsur- unsur yang sejajar diagonal
utama dikurangi jumlah unsur- unsur yang sejajar diagonal lain.
Dalam bentuk notasi
\[|\mathbf{A}|=\prod_{i=1}^na_{ii}+ \prod_{i=1}^n a_{i,i+1}+\cdots
+a_{1n}\prod _{i=1}^{n-1} a_{i+1,i}-\prod_{i=1}^n
a_{n+1-i,i}-\cdots -a_{11}\prod_{i=2}^{n-1} a_{n+2-i,i}.
\]
\end{definition}

\begin{definition}
Matriks yang determinannya tidak nol disebut matriks 
nonsinguler. Sedangkan matriks yang determinannya 0 disebut
matriks singuler.
\end{definition}
\begin{example}
\noindent Jika $\mathbf{A}=
\begin{pmatrix}
3 & 4 & 1\\
5 & 7 & 6\\
3 & 2 & 5
\end{pmatrix},$ maka det $\mathbf{A}$ adalah
\begin{align*}
|\mathbf{A}|&= (3)(7)(5)+(4)(6)(3)+(1)(5)(2) \\
            & \hspace{0.5cm} -(3)(7)(1)-(5)(4)(5)-(3)(2)(6) \\
            &= 105 + 72 + 10 - 21-100-36\\
            &= 187-157 = 30
\end{align*}
\end{example}
\begin{definition}
Teras( trace) suatu matriks bujur sangkar  adalah jumlah
unsur diagonal utama dari matriks tersebut, yaitu
tr$(\mathbf{A})=\sum_{i=1}^n a_{ii}.$
\end{definition}
\begin{example}
Dari \[\mathbf{A}= \left(
\begin{array}{rrr}
-1 & -19 & -18 \\
 13& 3 & 2\\
-15 & 13 & 6
\end{array}
\right),\] maka tr$(\mathbf{A})=-1+3+6=8.$
\end{example}

Untuk matriks bujur sangkar beordo 2, cara mencari invers adalah
sebagai berikut. 
 
\begin{theorem} Jika $\displaystyle \mathbf{A}=\begin{pmatrix} a
& c \\ b & d \end{pmatrix},$ maka \begin{itemize} \item
$\mid\mathbf{A}\mid=ac-bd$ \item $\mathbf{A}^{-1}
=\frac{1}{|\mathbf{A}|} \begin{pmatrix} d & -c \\ -b & a
\end{pmatrix}$ \end{itemize} \end{theorem}
\subsection{Kebergantungan
Linier dan Rank Matriks}
Dalam statistika pada umumnya kolom-kolom
matriks mewakili peubah-peubah acak yang bisa saling bebas atau
tidaksaling bebas satu sama lain. Kondisi ini akan mempengaruhi
apakah matriks yang akan dihasilkan mempunyai rank penuh atau
tidak, apakah matriks yang dihasilkan akan mempunyai invers atau
tidak.

\begin{definition}
Suatu kolom dari matriks $\mathbf{A}$ dikatakan bergantung
linier dengan kolom-kolom lainnya jika
dia dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari kolom-kolom
lainnya tersebut.
\end{definition}

\begin{definition}
Rank  suatu matriks adalah bilangan  yang menunjukkan
banyaknya maksimum kolom  yang saling independen.
\end{definition}

\begin{definition}

Suatu matriks dikatakan mempunyai rank penuh
jika ranknya sama dengan banyaknya kolom
\end{definition}

\begin{theorem}
 Suatu matriks bujur sangkar akan non singular jika
mempunyai rank penuh, sebaliknya akan singular
jika tidak mempuyai rank penuh. \end{theorem}

 \begin{example} 
 Matriks $\mathbf{A}= \begin{pmatrix}
3 & 4 & 1\\
5 & 7 & 6\\
3 & 2 & 5
\end{pmatrix}$ adalah matriks nonsingular
 dengan rank penuh 3.
Tetapi $\mathbf{B}=
\begin{pmatrix}
3 & 4 & 1\\
18 & 7 & 6\\
15 & 2 & 5
\end{pmatrix} $ tidak mempunyai rank penuh karena kolom pertama
merupakan $3 \times$ kolom ketiga dan karenanya $\mathbf{B}$
adalah matriks singular dan tidak memiliki invers. Penyelesaian
konkrit dari kegergantungan ini dapat dihitung dengan membentuk
sistim persamaan homogen antara kolom-kolom matriks dan mencari
apakah sistem persamaan homogen tersebut mempunyai atau tidak
penyelesaian tidak nol.

\end{example}

 
\begin{theorem} Jika matriks $\mathbf{A}_{np}$ bukan matriks bujur
sangkar ($n < p$), paling tidak ada ($p-n$) kolom yang dapat
dinyatakan sebagai kombinasi linier dari kolom lainnya. Dengan
demikian maka $\mathbf{A}$ tidak akan mempunyai rank penuh.
\end{theorem}
\begin{example}
Matriks $\mathbf{A}=
\begin{pmatrix}
3 & 4 & 1 & 1\\
5 & 7 & 6 & 1\\
3 & 2 & 5 & 1
\end{pmatrix}$
mempunyai banyak kolom yang lebih besar dari banyaknya baris,
karena itu pasti salah satu dari kolom yang ada dapat dinyatakan
sebagai kombinasi linier dari yang lainnya. Secara aljabar hal ini
mengandung pengertian bahwa sistim persamaan $ak_1+
b+k_2+ck_3+d_k4=0$, dengan $k_j$ adalah kolom ke $j$, mempunyai
penyelesaian dimana sekalar $a,b,c,d$ tidak semuanya sama dengan
nol.
\begin{align*}
3a+4b+c+d&=0\quad (1) \\
5a+7b+6c+d&=0\quad (2)\\
3a+2b+5c+d&=0\quad (3)
\end{align*}
Selanjutnya (1)-(3) dan (2)-(3) akan menghasilkan
\begin{align*}
2b+-4c&=0\quad (4) \\
2a+5b+c&=0\quad (5)\\
\end{align*}
Persamaan (4) menghasilkan hubungan  $b=2c$ yang dapat
disubstitusikan ke (5)
\begin{align*}
2a+10c+c7& =0 \\
2a+11c& = 0  \\
a&=-11/2 c \quad (7) \\
\end{align*}
Selanjutnya jika (7) disubstitusikan ke persamaan (1) akan
menghasilkan
\begin{align*}
-33/2 c + 8c +c +d &=0 \\
d& = 33/2c-9c = 15/2c
\end{align*}
Jadi sistim persamaan ini mempunyai penyelesaian yang bersifat
parametrik, salah satu diantaranya adalah untuk $c=2$, maka
diperoleh $b=4, a= -11, d= 15.$

\end{example} 
Dalam statistika, jika $\mathbf{X}$ adalah matriks
desain yang kolomnya menunjukkan peubah-peubah penjelas dan
barisnya merupakan sampel, untuk menjamin agar $\mathbf{X}$
mempunyai rank penuh, selain variabelnya harus independen, maka banyaknya sampel selalu diusahakan jauh
lebih banyak dari banyaknya peubah penjelas yang menjadi
perhatian.
\setion{Aplikasi Matriks untuk menyelesaikan SPL}
Sistem Persamaan Linier adalah sekumpulan persamaan linier yang memiliki jenis variabel yang sama
yang nilainya secera simultan memenuhi persamaan-persamaan tersebut. Agar 
dapat diselesaikan dengan baik banyaknya variabel sama dengan banyaknya persamaan yang tersedia, misalnya
$\begin{eqnarray}
x + 2y + 5z= 2\\
5x + 3y + 4z= 3\\
4x + 6y + 3z= 6
\end{eqnarray}; $ dan $\begin{eqnarray}
2x + y + 3z+4u= 1\\
4x + 3y + 2z+3u= 3\\
x + 3y + 4z+2u= 6 \\
3x + 2y + z+u= 5
\end{eqnarray}
$
Dalam bentuk matriks persamaan itu dapat dinyatakan sebagai $\mathbf {Ax=c}$. 
Untuk enyelesaikan persamaan di atas salah satunya dapat memanfaatkan opersi matriks. 
Menyelesaikan persamaan di atas pada dasarnyasama dengan mencari nilai $\mathbf x$  yang memenuhi persamaan di atas. 
Jika $\mathbf A$ adalah bujursangkar yang memiliki invers, maka penyelesaiannya dapat dicari dengan


$\begin{eqnarray}
\mathbf{Ax} &=\mathbf c \\ 
\mathbf{A^{-1}Ax} &=\mathbf{A^{-1}c}\\
\mathbf     x&=\mathbf{ A^{-1}c}
	 \end{eqnarray}$

		 
Untuk contoh SPL di atas terlebih dahulu persamaan tersebut harus
diubah dalam bentuk matriks $\mathbf {Ax=c}$, misalnya
$
\begin{pmatrix}
1 &2& 5\\
5&3&4\\
4&6& 3
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x\\
y\\
z
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
2\\
3\\
6
\end{pmatrix}$
maka
 $
 \begin{pmatrix}
x\\
y\\
z
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
1 &2& 5\\
5&3&4\\
4&6& 3
\end{pmatrix}^{-1}  \begin{pmatrix}
2\\
3\\
6
\end{pmatrix}$

 Operasi Matriks dengan program R
Untuk aplikasi R tentang  matriks dan operasinya, selain menggunakan beberapa
fungsi yang telah didefinisikan secara internal, pembaca dapat juga mencari
paket/library yang berkaitan dengan matriks.

Operasi Matriks dengan R
 Beberapa operasi matriks yang dapat
dilakukan yang terkait dengan kebutuhan statistika diantaranya adalah perkalian
matriks, determinan ((det()) invers dan transpose matriks.
» xmat%*%ymat
     [,1] [,2]
[1,]   95  220
[2,]  110  260
>det(xmat%*%ymat)
[1] 500
> solve(xmat%*%ymat)
      [,1]  [,2]
[1,]  0.52 -0.44
[2,] -0.22  0.19
» det(ymat%*%xmat)
[1] 0
» solve(ymat%*%xmat) #tes walau kita tahu det=0.s
Error in ... system is exactly singular

Pesan di atas menunjukkan matriksnya singular. Untuk latihan yang menggunakan program R langsung secara online 
klik alamat berikut.
Berikut adalah contoh beberapa matriks dengan inversnya.


Matriks bujursangkar berordo 3
> x
     [,1] [,2] [,3]
[1,]    1    5    4
[2,]    2    3    6
[3,]    5    4    3
> solve(x)
            [,1]        [,2]        [,3]
[1,] -0.19480519  0.01298701  0.23376623
[2,]  0.31168831 -0.22077922  0.02597403
[3,] -0.09090909  0.27272727 -0.09090909

Matriks bujur sangkar beroro 4
> x
     [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,]    1    3    3    4
[2,]    2    4    1    7
[3,]    5    4    2    6
[4,]    5    6    3    5
> solve(x)
            [,1]       [,2]       [,3]        [,4]
[1,] -0.12698413 -0.1904762  0.3333333 -0.03174603
[2,] -0.19047619  0.2142857 -0.5000000  0.45238095
[3,]  0.46031746 -0.3095238  0.1666667 -0.13492063
[4,]  0.07936508  0.1190476  0.1666667 -0.23015873


Untuk menyelesaikan SPL dengan matriks koefisien $\mathbf A$ dan vektor nilai persamaan $c$
solusinya dapat langsung dicari dengan
solve(A,c)
 atau

 solve(A)\%*\%c  



Misalkan diketahui SPL


$
\begin{eqnarray}
 x +  3 y +  3 z +  4 u &=1\\
   2 x +    4 y +    1 z +    7 u&=2 \\
 5 x  +   4 y +    2 z +    6 u &=3 \\
 5 x +    6 y +    3 z +    5 u &=4 
 \end{eqnarray}
 $
 

dan dalam 
persamaan matriks


$\begin{pmatrix}
  1 &   3  &  3  &  4 \\
   2 &    4 &    1 &    7\\
 5  &   4 &    2 &    6\\
 5 &    6 &    3 &    5
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
 y \\
  z \\
  u
\end{pmatrix}
 =
 \begin{pmatrix}
1 \\
 2 \\
  3 \\
  4
\end{pmatrix}
$


Perhitungan dengan R menghasilkan
> A
     [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,]    1    3    3    4
[2,]    2    4    1    7
[3,]    5    4    2    6
[4,]    5    6    3    5

>c
     [,1]
[1,]    1
[2,]    2
[3,]    3
[4,]    4

solve(A,c)
           [,1]
[1,]  0.3650794
[2,]  0.5476190
[3,] -0.1984127
[4,] -0.1031746

> solve(A)%*%c
           [,1]
[1,]  0.3650794
[2,]  0.5476190
[3,] -0.1984127
[4,] -0.1031746


maka solusinya adalah 
\[
\begin{pmatrix}
x \\
 y \\
  z \\
  u
\end{pmatrix}
 =
\begin{pmatrix}
 0,3650794 \\
 0,5476190 \\
-0,1984127 \\
 -0,1031746 \\
\end{pmatrix}
\]

\subsection{Ringkasan Fungsi terkait Matriks pada R}
\end{document}