UNEJ PONSTAT

ALJABAR MATRIKS UNTUK STATISTIKA

Tujuan Umum

Tujuan Khusus

1. menyebutkan jenis- jenis matriks terutama yang banyak dijumpai dalam statistika
2. menyelesaikan operasi matriks
3. mencari turunan suatu matriks atau vektor.

Materi

1. Definisi dan jenis- jenis matriks
2. Operasi hitung matriks (penjumlahan, pengurangan, perkalian, transpose)
3. Bentuk kuadrat (quadratic form) dan turunannya.

Ringkasan Teori

Defenisi dan Jenis Matriks

1. matriks bujur sangkar, jika $m=n$
2. matriks diagonal, adalah mariks bujur sangkar dengan $ a_{ij}=0,$ untuk $i\neq j$
3. matriks skalar adalah matriks diagonal yang unsur diagonal utamanya sama, misalnya $k$,
4. matriks identitas adalah matriks skalar dengan $k=1$
5. matriks simetrik adalah matriks bujur sangkar dengan $a_{ij}=a_{ji}$ untuk $\forall i,j$
6. matriks simetrik juling (skew-symmetrics) adalah matriks bujur sangkar dengan $a_{ij}=-a_{ji}$ untuk $\forall i\neq j$
7. matriks Toeflitz adalah matriks bujur sangkar dengan $$\mathbf{A}=\begin{pmatrix} a_{ij} \end{pmatrix}= =\begin{pmatrix} a_{11} & b& c& \ldots & d\\ b & a_{22}&b& \ldots& \\ c & b&a_{33}& \ldots& c\\ \vdots&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ d & &c& \ldots& a_{nn} \end{pmatrix} $$
8. Matriks uniform adalah matriks simetrik yang semua unsurnya selain diagonal adalah sama (misalnya $k$) $a_{ij}=k,\;\forall i\neq j$.
9. Matriks Segitiga atas Upper triangular adalah matriks bujursangkar yang semua unsurnya dibawah diagonal utamanya adalah 0 $a_{ij}=0,\;\forall i > j$.
10. Matriks Segitiga bawah Lower triangular adalah matriks bujursangkar yang semua unsurnya di atas diagonal utamanya adalah 0 $a_{ij}=0,\;\forall i < j$.
11. Matriks nol (0) adalah matriks yang semua unsurnya adalah $0$.

Operasi Matriks dan Sifat-sifatnya

Operasi uner

1. Inverse penjumlahan suatu matriks $\mathbf{A}$ ditulis $\mathbf{-A}$, adalah matriks yang unsur-unsurnya adalah negatif dari unsur-unsur matrks $\mathbf{A}$
2. Transfos matriks $\mathbf{A}$ (berordo $m\times n$) ditulis $\mathbf{A}^T$ adalah matriks berordo $n\times m$ yang diperoleh dengan menukar baris matriks $\mathbf{A}$ menjadi kolom dan sebaliknya, yaitu jika $\mathbf{B}=\mathbf{A}^T$, maka $b_{ij}=a_{ji}.$ Jika $\mathbf{A}$ adalah matriks simetris, maka $\mathbf{A}=\mathbf{A}^T$ dan jika $\mathbf{A}$ adalah matriks simetris, maka $\mathbf{A}=-\mathbf{A}^T$

3. Invers perkalian suatu matriks $\mathbf{A}$ ditulis $\mathbf{A}^{-1},$ adalah matriks yang jika dikalikan dengan $\mathbf{A}$ menghasilkan matriks identitas yaitu $\mathbf{A}.\mathbf{A}^{-1} =\mathbf{A}^{-1}. \mathbf{A} = \mathbf{I}.$

Operasi biner

1. Penjumlahan Matriks. Matriks yang bisa dijumlahkan (ditambah dan dikurangi) adalah matriks yang berdordo sama. Matriks yang berordo sama disebut compormable terhadap penjumlahan. Jika $\mathbf{A}_{mn}=\left(a_{ij}\right)$ dan $\mathbf{B}_{mn}=\left(b_{ij}\right)\; i=1,2,\cdots,m; j=1,2,\cdots,n$ maka $\mathbf{A+B}$ adalah matriks ${\mathbf C}_{mn}$ dengan unsur unsurnya adalah $c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$.
2. Selisih dua matriks didefinisikan sebagai jumlah dengan negatif matriks pengurang, yaitu $\mathbf{A-B}=\mathbf{A}+(-\mathbf{B}).$
3. Perkalian matriks Perkalian matriks bisa dilakukan apabila banyaknya kolom matriks yang terkali sama dengan banyaknya baris matriks pengali. Matriks-matriks yang dapat dikalikan disebut matriks- matriks yang conformable terhadap perkalian. Selain perkalian dengan sesama matriks, matriks juga dapat dikalikan dengan skalar. Hasil kali suatu matriks dengan suatu skalar adalah matriks yang unsur- unsurnya adalah hasil kali setiap unsur matriks dengan skalar tersebut, yaitu $k\mathbf{A}=\left(ka_{ij}\right).$
4. Hasil kali dua matriks adalah matriks yang berordo sedemikian sehingga barisnya sama dengan baris matriks yang dikalikan dan kolomnya sama dengan kolom matriks pengali. Unsur unsur dari matruiks pengali merupakan kombinasi linier dari baris matriks terkali dengan kolom dari matriks pengali. Jadi jika $\mathbf{A}_{m\times n} \mathbf{B}_{n\times p}$, maka $\mathbf{C}_{m\times p}=AB$ dengan \begin{align*} c_{ik}&= a_{i1}b_{1k}+a_{i2}b_{2k}+\cdots+a_{in}b_{nk} \\&=\sum_{j=1}^n a_{ij}b_{jk}. \end{align*}
5. Determinan dari suatu matriks bujur sangkar $\mathbf{A}$, dinotasikan dengan $|\mathbf{A}|$ atau det($\mathbf{A}$) adalah fungsi skalar yang didefinisikan sedemikian rupa sehingga merupakan jumlah hasilkali unsur- unsur yang sejajar diagonal utama dikurangi jumlah unsur- unsur yang sejajar diagonal lain. Dalam bentuk notasi $$|\mathbf{A}|=\prod_{i=1}^na_{ii}+ \prod_{i=1}^n a_{i,i+1}+\cdots +a_{1n}\prod _{i=1}^{n-1} a_{i+1,i}-\prod_{i=1}^n a_{n+1-i,i}-\cdots -a_{11}\prod_{i=2}^{n-1} a_{n+2-i,i}. $$

   Determinan bisa juga dihitung dengan mengalikan nilai karakteristik. $$|\mathbf{A}|=\prod_{i}^p \lambda_i;\; \text{ dengan $\lambda_i$ adalah nilaikarakteristik $\mathbf{A}$} $$ Matriks yang determinannya tidak nol disebut matriks nonsinguler. Sedangkan matriks yang determinannya 0 disebut matriks singuler.

6. Teras( trace ) suatu matriks bujur sangkar adalah jumlah unsur diagonal utama dari matriks tersebut, yaitu tr$(\mathbf{A})=\sum_{i=1}^n a_{ii}.$
7. Untuk matriks bujur sangkar beordo 2, cara mencari invers adalah sebagai berikut. Jika $\displaystyle \mathbf{A}=\begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix},$ maka
   1. $\mid\mathbf{A}\mid=ac-bd$
   2. $\mathbf{A}^{-1} =\frac{1}{|\mathbf{A}|} \begin{pmatrix} d & -c \\ -b & a \end{pmatrix}$
8. Rank suatu matriks adalah bilangan yang menunjukkan banyaknya maksimum kolom yang saling independen. Suatu matriks dikatakan mempunyai rank penuh jika ranknya sama dengan banyaknya kolom. Jika matriks $\mathbf{A}_{np}$ bukan matriks bujur sangkar ($n
9. Dekomposisi SVD ( Singular Value Decomposition)
adalah faktorisasi/ dekomposisi matriks $\mathbf{A}$ menjadi $\mathbf{A=VDU^T}$ dengan $\mathbf{D}$ adalah matriks diagonal
10. Dekomposisi Cholesky
adalah faktorisasi/ dekomposisi matriks positif definit $\mathbf{A}$ menjadi $\mathbf{A=U^TU}$ dengan $\mathbf{U}$ adalah matriks segitiga atas
11. Matriks dikatakan idempoten jika berlaku $\mathbf{AA=A}$

Aplikasi R untuk Operasi Matriks

Mendefinisikan matriks

1. memberikan data elemen matriks c(a11,a21,a31,...,a21,a22,...) yang selanjutnya disusun dalam bentuk baris dan kolom. Ingat bahwa R akan melengkapi seluruh barus kolom 1 baru melengkapi kolom 2 dan seterusnya.

   matrix(data = ..., nrow = 1, ncol = 1, byrow = FALSE,
          dimnames = NULL)
   as.matrix(x, ...)
   

2. menjadikan matriks data yang sudah tersusun dalam bentuk matriks dengan perintah as.matrix(). Untuk matriks berukuran besar, mungkin tidak praktis mencetak seluruh elemennya, tetapi kita bisa memeriksa dimensi/ordonya dengan dim(). Pada contoh berikut data kecepatan dan jarak tempuh mobil yang berupa tabel dengan 50 baris dan 2 kolom didefinisikan menjadi matriks berordo 50 $\times 2$.

   >data(cars)
   >x<-as.matrix(cars)
   

3. beberapa matriks didefinisikan secara khusus diantaranya adalah
   • matriks dengan elemen yang sama, misalnya $k$ dengan ormo $m\times n$.

     matrix(k,n,m)
     

   • matriks diagonal atau matriks identitas.

     diag(data,ncolumn=3)
     

     Sebaliknya jika diag() dilakukan pada matrik bujur sangkar, maka fungsi ini akan mengekstrak diagonal matriks tersebut.

     > diag(bmat)
      speed   dist
      13228 124903
     

Ringkasan Fungsi dan Paket terkait Matriks

Komputasi Langsung Matriks dengan R

Membangkitkan matriks data

Jenis matriks: Umum Idempoten Simetris Skew Simetris Tidak Fullrank Uniform Sama Diagonal Identitas Toeplitz LT (Lower Triangle) UT (Upper Triangle) Hilbert

M1

Operasi Uner

Pemeriksaan karakteristik matriks

Operasi uner matriks

Operasi konstanta dengan matriks

Operasi Biner Matriks

Sumber Bacaan Teori:

1. Davies, T.M., 2015. The Book of R. Early Access. No Startch Press
2. Novomestky, F. 2012. matrixcalc: Collection of functions for matrix calculations. R package version 1.0-3. http://CRAN.R-project.org/package=matrixcalc
3. Venables, W. N. & Ripley, B. D. 2002. Modern Applied Statistics with S. Fourth Edition. Springer, New York. ISBN 0-387-95457-0
4. Searle. S.R. 1982. Matrix Algebra Useful for Statistics. John Wiley and Sons, New York, 1st edition.
5. Banerjee, S. and Roy, A. 2014. Linear Algebra and Matrix Analysis for Statistics. CRC Press