Teori dan Praktek Himpunan (Set Theory & Practices), Relasi dan Fungsi

Himpunan $A$ dapat juga dinyatakan sebagai himpunan bilangan prima sama atau dibawah 17, dalam notasi matematika \[A=\{x|x\le 17 \wedge x:\text{prima}\}\;\text{ atau }\] \[A=\{x:x\le 17 \text{ dan } x \text{ adalah prima}\}\;\text{ atau }\] \[A=\{x;x\le 17 \text{ dan } x \text{ adalah prima}\}\]

Antara $x$ dan deskripsinya umumnya digunakan tanda ``$|$", namun ada juga yang menggunakan tanda ``:" dan ``;". (Ruseffendi, 1982)

Contoh. $G$ adalah kumpulan Gadis-gadis dengan tinggi badan antara 150 cm sampai dengan 165 cm dan dengan berat badan dari 50kg sampai dengan 60 kg. Dalam kumpulan ini jelas kriteria untuk menjadi anggota, dalam arti, setiap kita mengambil seorang gadis, berat dan tingginya dapat diukur dengan pasti, dengan demikian dapat ditentukan dengan jelas apakah dia termasuk dalam kategori dimaksud. Jadi $G$ adalah suatu himpunan.

Contoh. $M$ adalah kumpulan Gadis-gadis manis. Dalam kumpulan ini tidak jelas kriteria untuk menjadi anggota, sehingga $M$ bukan merupakan suatu himpunan, karena jika kita mengambil seorang gadis, tidak jelas apakah dia termasuk gadis manis atau tidak.

Jenis-jenis Himpunan

1. $U$ adalah himpunan bilangan riil,
2. $U$ adalah himpunan manusia.

• (i) persegi panjang untuk mengambarkan himpunan semesta,
• (ii) kurva tertutup untuk menggambarkan himpunan.

Relasi Himpunan

Jenis-jenis Relasi Himpunan}

Dilihat dari unsur-unsur yang menyusun himpunan-himpunan, beberapa himpunan mungkin sama sekali tidak memiliki unsur yang sama, memiliki beberapa unsur yang sama, atau semua unsur-unsurnya sama.
Definisi[Himpunan Saling lepas] Dua himpunan dikatakan saling lepas atau disjoint set jika kedua himpunan itu sama sekali tidak memiliki unsur bersama. \[A||B\text{ jika dan hanya jika } \forall x, (x\in A \rightarrow x\not\in B) \wedge (x\in B \rightarrow x\not\in A)\]
[Himpunan berpotongan] Dua himpunan dikatakan berpotongan (dinotasikan $\between$) jika kedua himpunan itu memiliki beberapa unsur bersama. \[A\between B\text{ jika dan hanya jika } \exists x\;\ni x\in A \wedge x\in B\]
[Himpunan sama] Dua himpunan dikatakan sama jika semua unsur masing-masing himpunan merupakan unsur bersama. \[A=B\text{ jika dan hanya jika } \forall x, x\in A \leftrightarrow x\in B\]


[Himpunan ekuivalen]

Dua himpunan dikatakan ekuivalen jika keduanya memiliki kardinal yang sama. \[A\equiv B \,\leftrightarrow\, \#(A)=\#(B)\] Suatu himpunan dikatakan himpunan bagian ( subset) dari himpunan lain, jika seluruh unsurnya merupakan unsur himpunan lain tadi. \[A \subseteq B \leftrightarrow \forall x,\,(x\in A \Rightarrow x \in B)\]

[Kesamaan dua himpunan]

\[A=B \Leftrightarrow (A \subseteq B)\wedge (B\subseteq A)\] \underline{Bukti:} \par Berdasarkan definisi maka jika $A=B$ berlaku: \begin{align*} \Rightarrow & \forall x, x \in A \Leftrightarrow x\in B \\ \Rightarrow & \forall x,(x \in A \Leftarrow x\in B)\wedge (x \in A \Rightarrow x\in B) \\ \Rightarrow & (A \subseteq B) \wedge (B\subseteq A) \end{align*} Sebaliknya jika $ (A \subseteq B) \wedge (B\subseteq A)$ berlaku: \begin{align*} \Rightarrow & \forall x,(x \in A \Leftarrow x\in B)\wedge (x \in A \Rightarrow x\in B) \\ \Rightarrow & \forall x, x \in A \Leftrightarrow x\in B \\ \Rightarrow & A = B \end{align*}

Contoh

Jika $A=\{2,3,5\}$ dan $B=\{1,2,3,4,5\}$ maka $A \subseteq B $.

Teorema

Jika $A$ dan $B$ adalah himpunan-himpunan berhingga yang bersifat $A\subseteq B$ dan $A\equiv B$, maka $A=B$

Definisi Keluarga himpunan

Keluarga himpunan adalah himpunan yang unsur-unsurnya adalah himpunan-himpunan.

Himpunan kuasa

Himpunan kuasa dari suatu himpunan adalah keluarga himpunan yang beranggotakan semua subset dari himpunan tadi. \[P_A=\{B|B \subseteq A\}\]

Contoh

Jika $A=\{1,3,5\}$ dan $B=\{2,4,6,8\} $, maka $A||B$.

Contoh

Jika $C=\{4,5,7,9\}$ dan $D=\{5,7,11,12,15\}$, maka $A$ berpotongan dengan $(\between)\,B$

Contoh

$A=\{2,3,5\}$ dan $B=\{3,2,5\}$ adalah merupakan himpunan yang sama.

Contoh

Jika $A=\{2,3,4\},B=\{2,3,5\},C=\{a,b,c\}$ maka
• $A\equiv B \equiv C$
• $A \between B$
• $A||C$ dan $B||C$

Contoh

Jika $A,B,C$ adalah suatu himpunan, maka $K=\{A,B,C\}$ adalah keluarga himpunan.

Contoh

Jika $A=\{1,2\}$, maka $P_A=\{\{\},\{1\},\{2\},\{1,2\}\}$. Jika $B=\{a,b,c\}$ maka $P_B=\{\{\},\{a\},\{b\},\{c\}, \{a,b\},\{a,c\},\{b,c\},\{a,b,c\}\}$

Teorema

$\#(A)=n$ maka $\#(P_A)=2^n$.

Ilustrasi/ Praktek dengan R

Navigasi:

Bangkitkan Himpunan Baru

Relasi Himpunan

Operasi Himpunan

Relasi Anggota Himpunan

Bangkitkan Himpunan

Himpunan Semesta (S), kardinal ($nS$, maks 30): ,
nilai minimum , nilai maksimum .
Himpunan A, kardinal (< $\;nS\, $):
Himpunan B, kardinal (<$\;nS\, $): Khusus: Subset ($\subseteq$) A lepas A Acak

Himpunan C, kardinal (<$\;nS\, $): Khusus: Subset ($\subseteq$) A Subset ($\subseteq$) B lepas A lepas B lepas A&B Acak

Jika terjadi error, cobalah naikkan kardinal supperset atau turunkan kardinal subset.


Anggota Himpunan

Bilangan , apakah merupakan elemen ($\in$ ) dari Himpunan A B C
Hasil

Relasi Himpunan

Apakah Himpunan I A B C memiliki relasi Subset dari ($\subseteq$ ) Sama dengan Himpunan II A B C ?
Hasil

Gambar 1.1 menunjukkan Diagram Venn himpunan A , himpunan B dan himpunan C; bilangan dalam diagram menunjukkan kardinal pada bagian tersebut.



Diagram Venn Himpunan A, B dan C [tanpa menggambar Himpunan Semesta]

Operasi Himpunan

Operasi Dasar Himpunan

Ada tiga operasi dasar dalam himpunan yaitu: operasi uner komplemen ($()^c$), operasi biner irisan $(\cap$) dan gabungan ($\cup$). Ketiga operasi ini ekuivalen dengan operasi negasi, konjungsi dan disjungsi pada logika. Selain itu pada himpunan juga dikenal operasi selisih dan perkalian himpunan.

[Operasi Komplemen]

Komplemen suatu himpunan adalah himpuan yang beranggotakan unsur-unsur dari semesta pembicaraan yang tidak menjadi unsur himpuan bersangkutan. \[A^c=\{x|x\in U \,\wedge\, x \not\in A\}\]

Contoh

Jika $U=\{1,2,3,\cdots,10\}$ $A=\{1,3,5\}$ dan $B=\{5,7,9\}$ maka
• $A^c=\{2,4,6,7,8,9,10\}$
• $B^c = \{1,2,3,4,6,8,10\}$

[Operasi Irisan]

Irisan dua buah himpunan adalah himpunan yang beranggotakan unsur-unsur yang menjadi unsur bersama kedua himpunan. \[A \cap B =\{ x|x \in A \wedge x \in B\}\]

Teorema

\[A \subseteq B \Leftrightarrow A\cap B=A\]

Contoh

\noindent Jika $U=\{1,2,3,\cdots,10\}$ $A=\{1,3,5\}$ dan $B=\{5,7,9\}$ maka $A\cap B = \{5\}$

[Operasi Gabungan]

Gabungan dua buah himpunan adalah himpunan yang beranggotakan semua unsur-unsur yang menjadi unsur salah satu atau kedua himpunan. \[A \cup B =\{ x|x \in A \vee x \in B\}\]

Contoh

\noindent Jika $U=\{1,2,3,\cdots,10\}$ $A=\{1,3,5\}$ dan $B=\{5,7,9\}$ maka $A\cup B = \{1,3,5,7,9\}$

Sifat-sifat Operasi Himpunan

Secara prinsip, himpunan dengan operasinya merupakan Aljabar Boole, sehingga dalil-dalil yang berlaku pada opersi perakit logika dan aljabar Boole juga berlaku pada operasi himpunan. Demikian juga sifat dualitas berlaku pula pada himpunan. Dengan demikian pembuktian sifat-sifat operasi pada himpunan analog dengan pembuktian pada aljabar perakit. \

Teorema [Komplemen Ganda]

Untuk sembarang himpunan $A$ berlaku: \begin{equation} (A^c)^c=A \end{equation} \end{theorem}

[ Sifat Komutatif/ Pertukaran]

> Untuk sembarang himpunan $A$ dan $B$ berlaku: \begin{equation} A\cap B=B\cap A \end{equation} \begin{equation} A\cup B=B\cup A \end{equation}

[ Sifat Asosiatif/ Pengelompokan]

Untuk sembarang himpunan $A,B$ dan $C$ berlaku: \begin{equation} (A\cap B)\cap C= A\cap (B\cap C) \end{equation} \begin{equation} (A\cup B)\cup C= A\cap(B\cup C) \end{equation} \begin{theorem}[ Sifat Identitas] Terdapat identitas untuk interseksi ($ \emptyset$) dan identitas untuk gabungan ($U)$ dan untuk setiap himpunan $A$ berlaku \begin{equation} A\cap U=A\text{ dan } A\cap \emptyset=\emptyset \end{equation} \begin{equation} A\cup U=U\text{ dan } A\cup \emptyset=A \end{equation} \end{theorem} \begin{theorem}[ Sifat Komplemen] Untuk setiap $A$ terdapat dengan tunggal $A^c$ sehingga \begin{equation} (A\cap A^c)= \emptyset \end{equation} \begin{equation} (A\cup A^c) = U \end{equation} \end{theorem} \begin{theorem}[Komplemen identitas] \begin{equation} \emptyset^c=U \end{equation} \begin{equation} U^c=\emptyset \end{equation} \\end{theorem} \begin{theorem}[Hukum De Morgan] Untuk sembarang himpunan $A$ dan $B$ berlaku \begin{equation} (A\cap B)^c=A^c\cup B^c \end{equation} \begin{equation} (A\cup B)^c=A^c\cap B^c \end{equation} \end{theorem} \begin{theorem}[ Hukum Distributif] Untuk sembarang himpunan $A,B$ dan $C$ berlaku: \begin{equation} A\cap (B \cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C) \end{equation} \begin{equation} A\cup (B \cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C) \end{equation} \end{theorem} \begin{theorem}[ Sifat Idempoten] Untuk sembarang himpunan $A$ berlaku \begin{equation} A\cap A =A \end{equation} \begin{equation} A\cup A = A \end{equation} \end{theorem} Dalam membuktikan sifat-sifat di atas kita menggunakan hasil pada Teorema yaitu $A=B$ jika dan hanya jika $A\subseteq B$ dan $B \subseteq A$. Berikut diambil salah satu sifat sebagai contoh pembuktian, misalnya $A\cap B=B\cap A$. \underline{Bukti:} \par Ambil sembarang unsur $x \in (A\cap B)$ \begin{align*} \Rightarrow & (x \in A)\wedge (x \in B) &\text{ definisi $A\cap B$}\\ \Rightarrow & (x \in B)\wedge (x \in A) &\text{ komutatif konjungsi}\\ \Rightarrow & x \in (B \cap A) &\text{ definisi $B \cap A$}\\ \Rightarrow & (A\cap B) \subseteq (B \cap A) &\text{ definisi $A \subseteq B$} \end{align*} Sebaliknya, ambil sembarang unsur $ y \in B\cap A$ \begin{align*} \Rightarrow & (y \in B)\wedge (y \in A) &\text{ definisi $B\cap A$}\\ \Rightarrow & (y \in A)\wedge (y \in B) &\text{ komutatif konjungsi}\\ \Rightarrow & y \in (A \cap B) &\text{ definisi $A \cap B$}\\ \Rightarrow & (B\cap A) \subseteq (A \cap B) &\text{ definisi $B \subseteq A$} \end{align*} Karena $(A\cap B) \subseteq (B \cap A)$ dan $(B\cap A) \subseteq (A \cap B)$, berdasarkan Teorema , maka $(B\cap A) = (A \cap B)\;\qed$ \subsection{Operasi Jumlah dan Selisih Himpunan} Selain operasi dasar komplemen, gabungan dan irisan, dalam operasi himpunan dikenal juga operasi jumlah dan selisih yang definisinya dapat dirumuskan dengan menggunakan operasi dasar tadi. \begin{definition}[Operasi Selisih] Selisih dua buah himpunan adalah himpunan yang beranggotakan unsur-unsur yang menjadi unsur himpunan pertama yang tidak menjadi unsur himpunan pengurang. \[A / B =A-B =\{ x|x \in A \wedge x \not\in B\}\] \end{definition} \begin{theorem} \[A/B=A\cap B^c\] \end{theorem} \begin{definition}[Operasi Jumlah] Jumlah dua himpunan adalah himpunan yang beranggotakan semua unsur yang menjadi anggota salah satu himpunan. \[A+B=\{(x\in A \vee x\in B) \wedge x\not\in (A\cap B)\}\] \end{definition}

Contoh

Jika $A=\{1,3,5,7,9\}$ dan $B=\{4,5,6,8,10\}$ maka \begin{enumerate} \item $ A\cap B = \{5\} $ \item $ A\cup B= \{1,3,4,5,6,7,8,9,10\}$ \item $A/B =\{ 1,5,7,9\}$ \item $B/A= \{4,6,8,10\}$ \item $A+B=\{1,2,3,4,5,7,8,9,10\}$ \end{enumerate} Beberapa sifat yang terkait dengan opersi selisih dan jumlah serta hubungannya dengan operasi dasar sebelumnya diberikan pada teorema-teorama berikut. Ilustrasi dapat menggunakan diagram Venn sedangkan pembuktian secara ormal dapat menggunakan definisi kesamaan dua himpunan.

Teorema

Untuk sembarang himpunan $A,B$ \[A+B=(A\cup B)/(A\cap B)\]

Teorema Untuk sembarang himpunan $A,B$ \[A+B=(A/B)\cup(B/A)\] \end{theorem} \begin{theorem}[Komutatif jumlah] Untuk sembarang himpunan $A,B$ \[A+B=B+A\] \end{theorem} \begin{theorem}[Distributif Selisih] Untuk sembarang himpunan $A,B,C$ \begin{equation} (A\cup B)/C=(A/C)\cup (B/C) \end{equation} \begin{equation} (A\cap B)/C=(A/C) \cap (B/C) \end{equation} \end{theorem} \begin{definition}[Partisi himpunan] Himpunan $A$ dan $B$ dikatakan partisi dari himpunan C jika dan hanya jika $A$ dan $B$ saling lepas dan gabungannya sama dengan $C.$ \[A,B \text{ partisi dari } C \leftrightarrow \big[(A\cap B=\emptyset)\wedge (A\cup B=C)\big]\] \end{definition} \subsection{Ilustrasi dan Latihan Operasi Himpunan dengan R}

Navigasi:

Bangkitkan Himpunan Baru

Relasi Himpunan

Operasi Himpunan

Relasi Anggota Himpunan

Perhatikan contoh-contoh himpunan sebelumnya

Opersasi

A B C Gabungan Irisan Selisih Komplemen I Komplemen II Himpunan II A B C ?
Menghasilkan

Diagram Venn Berpasangan


\begin{figure} \caption{Diagram Venn Dua Himpunan [Bilangan dalam diagram menunjukkan kardinal pada bagian tersebut]} \end{figure} \section{ Sifat-sifat Lanjut Relasi Himpunan bagian} Konsep himpunan bagian ($\subset$) ekuivalen dengan konsep implikasi logis pada himpunan, karenanya implikasi logis dan penalaran dapat dimanfaatkan untuk mempelajari sifat-sifat himpunan bagian seperti diuraikan berikut ini. \begin{theorem} \label{th:rel.1} Relasi $\subseteq$ adalah relasi yang bersifat refleksif, transitif tetapi non simetrik yaitu: \begin{equation} \forall A,\; A \subseteq A \end{equation} \begin{equation} \forall (A,B,C)\; \big[(A \subseteq B)\wedge(B\subseteq C)\big] \Rightarrow (A\subseteq C) \end{equation} \begin{equation} \forall (A,B) \big[(A \subseteq B)\wedge(B\subseteq A)\big] \Rightarrow (A=B) \end{equation} \end{theorem} \begin{theorem} \label{th:rel.2} Untuk sembarang himpunan $A$ dari semesta $U$ maka \begin{enumerate} \item $A \subseteq A $ \item $\emptyset \subseteq A$ \item $A \subseteq U$ \end{enumerate} \end{theorem} Pembuktian butir 1. jelas dari definisi. Sedangkan pembuktian butir 2. dan butir 3. dapat dilakukan dengan menggunakan bukti pengandaian. \par\underline{Bukti 3.:} \par Andaikan $A\not\subseteq U$ berarti $\exists x\in A, \;\ni x\not\in U$. Tetapi berdasarkan definisi $U$ \underline{tidak ada} $x \notin U$. Oleh karena itu terjadi \underline{kontradiksi} dan pengandaian harus diingkar. Artinya untuk sembarang himpunan $A$, maka $A \subseteq U$ \begin{theorem} \[A \subseteq B \Leftrightarrow A\cup B=B\] \end{theorem} \underline{Bukti:} Teorema ini mengandung beberapa pengertian dintaranya \begin{enumerate} \item $(A \subseteq B) \Rightarrow A\cup B=B$ \item $A \subseteq B \Leftarrow (A\cup B=B)$ \item $(A\cup B)\subseteq B)$ \item $B \subseteq (A\cup B)$ \end{enumerate} \par Jika $A\subseteq B$ maka $\forall x\in A \Leftrightarrow x\in B.$ Ambil sembarang $y \in (A\cup B)$ \begin{align*} \Rightarrow & (y \in A)\vee (y \in B) &\text{ definisi $A\cap B$}\\ \Rightarrow & (y \in B)\vee (y \in B) &\text{ $A\subseteq B$}\\ \Rightarrow & (y \in B)&\text{ idempoten $\vee$}\\ \Rightarrow & (A\cup B)\subseteq \cap B) &\text{ definisi $B \subseteq A$} \end{align*} Ambil sembarang $z \in B$ \begin{align*} \Rightarrow & (z \in A)\vee (z \in B) &\text{ sifat additif $\vee$}\\ \Rightarrow & (y \in (A\cup B)&\text{ $A\subseteq B$}\\ \Rightarrow & (y \in B)&\text{ idempoten $\vee$}\\ \Rightarrow & (A\cup B)\subseteq \cap B) &\text{ definisi $B \subseteq A$} \end{align*} Berarti kita telah membuktikan bahwa \[A \subseteq B \Rightarrow A\cup B=B\] Untuk hal sebaliknya, misalkan $A\cup B=B$, berarti $A\cup B\subseteq B$, karenanya \begin{align*} \Rightarrow & \forall x\; x\in (A\cup B), \Rightarrow x\in B \\ \Rightarrow & \not\exists x\,\ni x\in (A\cup B), \wedge x\not\in B \\ \Rightarrow & \not\exists x\,\ni (x\in A \vee x\in B) \wedge x\not\in B \\ \Rightarrow & (\not\exists x \in A)\wedge (\not\exists x \in B) \,\ni x\not\in B \\ \Rightarrow & (\not\exists x \in A)\,\ni x\not\in B \\ \Rightarrow & \forall x, x \in A\Rightarrow x\in B \\ \Rightarrow & A\subseteq B\;\qed \end{align*} \begin{theorem} \label{th:rel.4} Untuk himpunan semesta $U$ dan himpunan $A$ \[U \subseteq A \Leftrightarrow A=U\] \end{theorem} \begin{theorem} \label{th:rel.4a} \[A \subseteq \emptyset \Leftrightarrow A =\emptyset\] \end{theorem} \begin{theorem} Untuk sembarang himpunan $A$ dan $B$, \[A \subseteq A\cup B \text{ dan } B \subseteq A\cup B\] \end{theorem} %\underline{Bukti:} \begin{theorem} Untuk sembarang himpunan $A$ dan $B$, \[(A\cap B) \subseteq A \text{ dan } (A\cap B) \subseteq B \] \end{theorem} \begin{theorem} Untuk sembarang himpunan $A$ dan $B$, \[(A/ B) \subseteq A \text{ dan } (B/A) \subseteq B \] \end{theorem} \begin{theorem} Untuk $A,B,C\;\subseteq U$ \begin{equation} (A\subseteq C) \wedge (B\subseteq C) \Rightarrow \big[(A\cap B)\subseteq (A\cup B) \subseteq C\big] \end{equation} \end{theorem} \begin{theorem} \label{th:rel.5} Untuk $A,B,C\;\subseteq U$ \begin{equation} (A\subseteq C) \vee (B\subseteq C) \Rightarrow \big[(A\cap B) \subseteq C\big] \end{equation} \end{theorem} \begin{theorem} Untuk $A,B,C\;\subseteq U$ \begin{equation} (A\subseteq B) \wedge (B\subseteq C) \Rightarrow \big(A \subseteq C\big) \end{equation} \end{theorem} Selain dengan diagram Venn, hubungan subset dapat juga diilustrasikan dengan menggunakan diagram subset yang pada dasarnya merupakan pohon subset. Dengan pohon subset, himpunan-himpunan digambarkan dalam diagram pohon. Himpunan yang mejadi subset dari himpunan yang lain ditulis lebih rendah dari himpunan yang menjadi supersetnya dan dihubungkan dengan garis. Apabila sudah ada jalur yang menghubungkan suatu hubunganantara sutu himpunan dengan himpunan lain, maka tidak perlu membuat garis kusus yang menghubungkan kedua himpunan tadi. Selain itu, dalam hal hubungan ``subset dari" maka ada dua hal yang selalu benar yaitu: \begin{enumerate} \item setiap himpunan adalah subset dari Himpunan semesta $S$ dan \item himpunan kosong, yaitu himpunan yang tidak memiliki anggota, ($\emptyset$) adalah subset dari setiap himpunan. \end{enumerate} Oleh karena itu puncak atas dari pohon subset adalah himpunan semesta dan puncak bawahnya adalah himpunan kosong.

\subsection{ Penggunaan Himpunan dalam Silogisme} Dalam Toik Logikatelah dibicarakan tata cara penarikan kesimpulan dengan argumen yang mengandung kuantor. Dalam subbab ini kita akan membahas hal serupa dengan menggunakan bantuan himpunan khususnya relasi himpunan dan diagram Venn. Berikut diberikan rangkuman kondisi unsur dua himpunan ($A$ dan $B$) beserta hubungan yang terjadi diantaranya

No	Unsur $A$ dan $B$	Relasi $A$ dengan $B$	$A\cap B$
1	Semua unsur $A$ menjadi unsur $B$ ( universal affirmative)	$A \subset B$	$A\cap B=A$ atau $A\cap B^c=\emptyset $
2	Semua unsur $A$ tidak menjadi unsur $B$ ( universal negative)	$A \subset B^c$	$A\cap B = \emptyset $
3	Sebagian unsur $A$ menjadi unsur $B$ ( particular affirmative )	$A \between B$	$A\cap B\neq \emptyset $
4	Sebagian unsur $A$ tidak menjadi unsur $B$ ( particular negative )	$A \between B$	$A\cap B^c \neq \emptyset $

Berikut diuraikan sifat-sifat relasi himpunan yang terkait dengan penarikan kesimpulan secara silogisme. \begin{theorem} Untuk $A,B,C\;\subseteq U$ jika $A$ himpunan bagian dari $B$ dan $A$ himpunan bagian dari $C$ maka $A$ himpunan bagian dari $C$ \begin{equation} (A\cap B^c = \emptyset) \wedge (B\cap C^c = \emptyset) \leftrightarrow (A\cap C^c = \emptyset) \end{equation} \end{theorem} \begin{theorem} Untuk $A,B,C\;\subseteq U$ jika $A$ beririsan dengan $B$ dan $B$ beririsan dengan $C$, \begin{equation} (A\cap B = \emptyset) \wedge (B\cap C = \emptyset) \end{equation} maka tidak ada yang dapat disimpulkan tentang $A\cap C$ \end{theorem} \begin{theorem} Untuk $A,B,C\;\subseteq U$ jika $A$ lepas dengan $B$ dan $B$ lepas dengan $C$, \begin{equation} (A\cap B \neq \emptyset) \wedge (B\cap C \neq \emptyset) \end{equation} maka tidak ada yang dapat disimpulkan tentang $A\cap C$ \end{theorem} Secara umum ada 7 aturan mendasar dalam penarikan kesimpulan seperti di atas \begin{enumerate} \item Tidak ada kesimpulan yang dapat diambil dari dua pernyataan negatif. Jika $A||B $ (Tidak ada unsur $A$ menjadi unsur $B$), dan $B || C$ (tidak ada unsur $B$ menjadi unsur $C$), maka tidak ada kesimpulan yang dapat diambil tentang hubungan $A$ dan $C$. \item Jika salah satu premis negatif, maka kesimpulan juga negatif. Jika $A||B$ (tidak ada unsur $A$ yang menjadi $B$ dan $C\subseteq B$ ($C$ bagian dari $B$, maka $A||C$ (tidak ada unsur $A$ yang menjadi $C$. \item Jika kedua premis positif, maka kesimpulannya juga positif. Jika $A\subseteq B$ (semua unsur $A$ menjadi unsur $B$ dan $B\subseteq C$ (semua unsur $B$ menjadi unsur $C$, maka $A\subseteq C$ (semua unsur $A$ menjadi unsur $C$). \item Dalam sillogisme harus ada Unsur (terma/ term }) tengah/ antara dan harus terdistribusi setidaknya sekali dalam premis mayor atau premis minor. \item Semua unsur yang muncul dalam kesimpulan, harus juga muncul dalam premis mayor atau premis minor. \item Tidak ada kesimpulan yang dapat diambil dari dua premis khusus ( particular premises, baik yang positif (afirmatif) maupun yang negatif. Jika $A\cap B \neq \emptyset$ (Jika \underline{ada} unsur $A$ yang menjadi unsur $B$) dan $B\cap C \neq \emptyset$ (\underline{ada} unsur $B$ menjadi unsur $C$), maka tidak ada kesimpulan yang bisa diambil tentang $A\cap C$ \item Jika salah satu premis betuknya khusus (eksistensial), maka kesimpulan juga berbentuk khusus (eksistensial). Jika $A\cap B\neq \emptyset$ (\underline{ada} unsur $A$ menjadi unsur $B$) dan ada beberapa kondisi lain ($B\subset C$, \underline{semua} unsur $B$ menjadi unsur $C$ ), maka kesimpulan yang pasti, yang dapat diambil adalah $A\cap C \neq \emptyset$ (\underline{ada} unsur $A$ menjadi unsur $C$, lihat Gambar \ref{fg:abc4}). \end{enumerate} \subsection{ Bacaan Lebih Lanjut} Untuk mendalami lebih jauh materi pada bab ini selain beberapa sumber yang telah dikutip sebelumnya, dapat juga dibaca beberapa sumber lain diantaranya Ruseffendi (1982), Nasoetion (1980), Lipschutz (1974), Polimeni & Straight (1985) dan Courant & Robbins (1978). Secara umum hampir semua buku teks tetang matematika mulai dengan pembahasan tentang himpunan. \subsection{ Soal-soal Latihan} \begin{enumerate} \item Nyatakan benar atau salah pernyataan-pernyataan berikut ini: \begin{enumerate} \item $\emptyset \in \{2,3\}$ \item $\{1,2,3\}=\{2,3,1\}$ \item $\{x\le 16 |x:\text{prima}\} \subseteq \{0,1,2,\cdots,13\}$ \item $\{1,3,5,\cdots \} \equiv \{1,2,3,\cdots \}$ \item $\{1,3,5,\cdots \} \subseteq \{1,2,3,\cdots \}$ \end{enumerate} \item Untuk himpunan-himpunan berikut, tentukan semua subset-subsetnya. Selanjutnya buat masing-masing diagram subsetnya. \begin{enumerate} \item $\{2,3,4\}$ \item $\emptyset,\{2,3\}\}$ \item $\{ a,b,c,d\}$ \end{enumerate} \item Buktikan Teorema-teorema sebelumnya yang belum dibuktikan. \item Tentukan apakah hubungan antara $A$ dan $C$ bisa dibuat, jika ya tentukan hubungannya, jika tidak, sebutkan alasannya (aturan mana yang tidak terpenuhi, atau yang menyebabkan tidak bisa disimpulkan): \begin{enumerate} \item $A \subseteq B,\; B \subseteq C $ \item $A \subseteq B,\; C \subseteq B $ \item $A \between B,\; B \between C $ \item $A || B, B || C $ \end{enumerate} \item Tentukan kesimpulan yang bisa diambil dari premis-premis berikut. Jika tidak ada kesimpulan yang bisa diambil sebutkan alasannya. \begin{enumerate} \item P1: Semua burung bisa tertawa; P2: Semua cecak bisa tertawa (Simpulkan hubungan burung dengan cecak) \item P1: Semua yang bertelor bisa terbang; P2: Ada binatang berkaki empat yang bertelor (adakah binatang berkaki empat yang bisa terbang?). \item P1: Ada mahasiswa yang menjadi wartawan, P2: Ada wartawan yang suka memeras (apakah ada mahasiswa yang suka memeras?) \item P1: Tidak ada mahasiswa yang menjadi pelawak, P2: tidak ada pelawak yang serius (apakah maahasiswa serius atau tidak ?) \item P1: semua bujur sangkar memiliki 4 sudut siku-siku; P2:Semua persegi panjang memiliki 4 sudut siku-siku (apakah bujur sangkar itu (sama dengan) persegi panjang?) \end{enumerate} \item Buat gambar subset dari serangkaian himpunan-himpunan $A,B,C,D,E$ dan $\emptyset$ berikut: \begin{enumerate} \item $A=\{1,2,3,5\}, B=\{1,3,5\}, C=\{2,3,5\}, D=\{2,5\}, E=\{1,5\}$ \item $A=\{a,b,c,d\}, B=\{b,c,d\}, C=\{a,b,c\}, D=\{b,c\}, E=\{b,d\}$ \end{enumerate} \end{enumerate} \section{Perkalian Kartesius dan Relasi Himpunan}

Tujuan Umum

Setelah mempelajari materi pada bab ini diharapkan agar pembaca memahami konsep dan sifat-sifat relasi dan fungsi serta menggunakannya dalam menyelesaikan permasalahan yang berhubungan relasi dan fungsi.

Tujuan Khusus

Setelah mempelajari materi pada bab ini diharapkan agar pembaca dapat \begin{enumerate} \item menyelesaikan perkalian Kartesius dua himpunan \item memberi contoh berbagai jenis relasi dengan sifat-sifatnya \item memberi contoh berbagai jenis fungsi dengan sifat-sifatnya \end{enumerate}

Materi

\begin{enumerate} \item Perkalian Kartesius \item Relasi dan sifat-sifatnya \item Fungsi \end{enumerate} Selain operasi himpunan yang telah dibicarakan sebelumnya, ada juga operasi himpunan yang disebut perkalian himpunan, yang disebut perkalian kartesius. \subsection{Perkalian Kartesius} \begin{definition}[Operasi Perkalian] Perkalian (atau disebut juga perkalian kartesius\index[subjek]{operasi himpunan!kartesius}) dua buah himpunan adalah himpunan yang beranggotakan semua pasangan berurut unsur pertamanya berasal dari himpunan terkali dan unsur keduanya berasal dari himpunan pengali. \[A \times B =\{ (x,y)|x \in A \wedge y \in B\}\] \end{definition} \hbox to \hsize{\hfill{\vrule width \hsize height 0.25pt}} \begin{exercise}\sf Jika $A=\{1,3,5\}$ dan $B=\{4,5\}$ maka \begin{enumerate} \item $ A\times B = \{(1,4),(1,5),(3,4),(3,5),(5,4),(5,5)\} $ \item $ B\times A = \{(4,1),(4,3),(4,5),(5,1),(5,3),(5,5)\} $ \end{enumerate} \end{exercise} Hasil perkalian himpunan selain dinyatakan dengan himpunan pasangan terurut, dapat juga dinyatakan dengan grafik kartesius. seperti pada Gambar \begin{theorem} Untuk sembarang $A$ dan $B$, secara umum berlaku: \begin{enumerate} \item $A\times B \neq B\times A$ \item $A\times B \equiv B\times A$ \item $(A\times B) = (B\times A) \Leftrightarrow A=B $ \end{enumerate} \end{theorem} \begin{definition} \begin{equation} A\times A= A^2=\{(a_1,a_2)|a_1,a_2 \in A\} \end{equation} \begin{equation} \underbrace{A\times A\times\ldots\times A}_n=A^n =\{(a_1,a_2,\ldots,a_n)|a_i\in A,i=1,2,\ldots,n\} \end{equation} \end{definition} \ \subsection{ Relasi} Relasi atau hubungan antara dua himpunan merupakan himpunan bagian dari perkalian dua himpunan bersangkutan. Relasi dari himpunan $A$ ke $B$ dinotasikan dengan $R_{A\times B}$ atau $R:A\rightarrow B$. Ada tiga komponen yang harus dipenuhi oleh suatu relasi $R:A\rightarrow B$ yaitu: \begin{enumerate} \item Adanya daerah definisi atau daerah asal yang disebut domain, yaitu himpuan $A$ yang yang akan dihubungkan dengan suatu himpunan lain. \item Adanya daerah kawan yang disebut codomain, yaitu himpunan $B$ yang menjadi kawan himpunan $A.$ \item Adanya aturan pengawanan antara himpunan asal $A$ dan himpunan kawan $B$. \end{enumerate} Bentuk aturan pengawanan dapat dilakukan dengan berbagai cara diantaranya adalah dengan mengguakan diagram panah, himpunan pasangan berurut. Jika pasangan berurut $(x,y)$ merupakan ang-gota dari $R$ maka dinotasikan dengan $(x,y)\in R$, jika tidak maka dinotasikan $(x,y)\not\in R$. \begin{exercise} Misalkan $R$ adalah relasi dari $N$ ke $N$ dengan aturan pengawanan \[R=\{(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3),\cdots \}\] atau \[R=\{(x,y)|y\le x;\;x,y\,\in N\}\] \end{exercise} \begin{exercise} Misalkan $R$ adalah relasi dari $N$ ke $N$ dengan aturan $R(n)=2n$ dapat dinyatakan dengan $R=\{(x,y)|y=2x,\;x\in N\}$ \end{exercise} Himpunan bagian dari himpunan kawan yang dipilih menjadi kawan disebut daerah {\em hasil/ range} dari $R$. Pada contoh diatas daerah hasil $H_R$ adalah himpunan bilangan bulat positif, yaitu $H_R=\{2,4,6,\cdots\}$. \subsection{ Sifat-sifat Relasi} Relasi dari suatu himpunan ke dirinya sendiri dapat dibedakan menjadi beberapa jenis diantaranya dilihat dari banyaknya unsur yang berkawan kedirinya sendiri, kesimetrisan perkawanan. Berikut adalah definisi formal dari beberapa sifat relasi himpunan ke dirinya sendiri. \begin{definition} Relasi $R$ dikatakan bersifat reflektif jika \[\forall x,\;(x,x)\in R\] \end{definition} \begin{definition} Relasi $R$ dikatakan bersifat non-refleksif jika \[\exists x,\;(x,x)\not\in R\] \end{definition} \begin{definition} Relasi $R$ dikatakan bersifat irreflekfif jika \[\forall x,\;(x,x)\not\in R\] \end{definition} \begin{definition} Relasi $R$ dikatakan bersifat simetrik jika \[\forall x,y\;(x,y)\in R\,\Rightarrow (y,x)\in R\,\] \end{definition} \begin{definition} Relasi $R$ dikatakan bersifat non-simetrik jika \[\exists x,y\;(x,y)\in R\,\Rightarrow (y,x)\not\in R\,\] \end{definition} \begin{definition} Relasi $R$ dikatakan bersifat asimetrik jika \[\forall x,y\;(x,y)\in R\,\Rightarrow (y,x)\not\in R\,\] \end{definition} \begin{definition} Relasi $R$ dikatakan bersifat transitif jika \[\forall x,y,z\;\Big[(x,y)\in R\,\wedge (y,z)\in R\Big]\Rightarrow (x,z)\in R\,\] \end{definition} \begin{definition} Relasi yang sekaligus bersifat reflektif, simetrik dan transitif disebut relasi ekuivalensi. \end{definition} \begin{exercise} Berikut adalah beberapa contoh relasi yang merupakan relasi refleksif. \begin{enumerate} \item Relasi sama dengan (=) pada himpunan bilangan riil. \[\forall x,\; x=x \text{ yaitu } (xRx)\] \item Relasi kongruensi pada himpunan segitiga. \item Relasi faktor dari, pada himpunan bilangan bulat selai 0. \[\forall x,\; x\text{ faktor dari } x \text{ yaitu } (xRx)\] \item Relasi mirip pada himpunan manusia. Setiap orang mirip dirinya sendiri. \end{enumerate} \end{exercise} \begin{exercise} Berikut adalah beberapa contoh relasi non-reflektif. \begin{enumerate} \item Relasi faktor dari pada himpunan semua bilangan bulat. (Ada 0 tidak dapat dibagi 0) \item Relasi mencintai pada himpunan manusia. Ada orang yang tidak mencintai dirinya sendiri. \end{enumerate} \end{exercise} \begin{exercise} Berikut adalah beberapa contoh relasi irreflektif. \begin{enumerate} \item Relasi tidak sama pada himpunan bilangan riil. Tidak ada bilangan yang tidak sama dengan dirinya sendiri. \item Relasi kurang dari pada himpunan bilangan riil. Tidak ada bilangan yag kurang dari dirinya sendiri. \item Relasi lebih gemuk pada himpunan manusia. Tidak ada orang yang lebih gemuk dari dirinya sendiri. \item Relasi lebih cantik pada himpunan manusia. Tidak ada orang yang lebih cantik dari dirinya sendiri. \end{enumerate} \end{exercise} \begin{exercise} Berikut adalah contoh relasi yang bersifat simetrik. \begin{enumerate} \item Relasi sama dengan pada himpunan bilangan riil. \item Relasi kongruensi pada himpunan segitiga. \item Relasi kenal dengan (pernah berkenalan) pada himpunan manusia \end{enumerate} \end{exercise} \begin{exercise} Berikut adalah contoh relasi yang bersifat non-simetrik. \begin{enumerate} \item[i] Relasi lebih besar atau sama dengan pada himpunan bilangan riil. \item[ii] Relasi mencintai pada himpunan manusia \end{enumerate} \end{exercise} \begin{exercise} Berikut adalah contoh relasi yang bersifat asimetrik. \begin{enumerate} \item[i] Relasi lebih besar dari pada himpunan bilangan riil. \item[ii] Relasi lebih tinggi pada himpunan manusia \item[iii] Relasi lebih tua pada himpunan manusia \end{enumerate} \end{exercise} \begin{exercise} Berikut adalah contoh relasi yang bersifat transitif. \begin{enumerate} \item[i] Relasi lebih besar dari pada himpunan bilangan riil. \item[ii] Relasi lebih tinggi pada himpunan manusia \item[iii] Relasi lebih tua pada himpunan manusia \end{enumerate} \end{exercise} \begin{definition} Relasi $R$ dikatakan bersifat {\bf non-transitif} jika \[\exists x,y,z\;\Big[(x,y)\in R\,\wedge (y,z)\in R\Big]\Rightarrow (x,z) \not\in R\,\] \end{definition} \begin{exercise} Berikut adalah contoh relasi yang bersifat non-transitif. \begin{enumerate} \item Relasi berpotongan pada himpunan. \item Relasi mengenal pada himpunan manusia \end{enumerate} \end{exercise} \begin{definition} Relasi $R$ dikatakan bersifat {\bf intransitif} jika \[\forall x,y,z\;\Big[(x,y)\in R\,\wedge (y,z)\in R\Big]\Rightarrow (x,z) \not\in R\,\] \end{definition} \begin{exercise} Berikut adalah contoh relasi yang bersifat intransitif. \begin{enumerate} \item Relasi pangkat kuadrat dari pada himpunan bilangan riil selain 0 dan 1. \item Relasi akar kuadrat dari pada himpunan bilangan riil selain 0 dan 1. \item Relasi pacar dari pada himpunan manusia. \end{enumerate} \end{exercise} \begin{exercise} Berikut adalah contoh relasi yang bersifat ekuivalensi. \begin{enumerate} \item Relasi sama dengan pada himpunan bilangan riil. \item Relasi kongruensi pada himbunan segitiga. \item Relasi kesejajaran pada himbunan garis. \item Relasi sama tinggi pada himpunan manusia. \item Relasi sama berat pada himpunan manusia. \end{enumerate} \end{exercise} \subsection{Penyajian Relasi dengan Matriks} Selain dengan cara diagram panah, relasi juga dapat disajikan dalam bentuk matriks. Dalam hal ini matriks representasinya memiliki ciri-ciri sebagai berikut. \begin{enumerate} \item Baris matriks menunjukkan unsur-unsur himpunan domain; \item Kolom matriks menunjukkan unsur-unsur himpunan kodomain; \item Jika dua unsur memiliki relasi maka unsur matriks yang bersesuaian adalah 1, jika tidak maka unsurnya adalah 0. \end{enumerate} \begin{exercise} \end{exercise} Misalkan $R_1$ adalah relasi dari $A=\{1,2,3,4\} $ ke $B=\{a,b,c\}$ dengan aturan \[R_1=\{(1,a),(1,b),(2,c),(3,a),(4,b)\}\]. \newline Misalkan pula $R_2$ adalah relasi dari $A$ ke dirinya sendiri dengan aturan \[R_2=\{(1,1),(1,3),(2,2),(3,1),(3,3),(4,4)\},\] maka dalam bentuk matriks dapat disajikan sebagai berikut ini. \[R_1=\left[ \begin{array}{c|ccc} &a&b&c \\ \hline 1&1&1&0\\ 2&0&0&1\\ 3&1&0&0\\ 4&0&1&0 \end{array} \right],\;\quad R_2=\left[ \begin{array}{c|cccc} &1&2&3&4 \\ \hline 1&1&0&1&0\\ 2&0&1&0&0\\ 3&1&0&1&0\\ 4&0&0&0&1 \end{array} \right] \]

Ilustrasi Relasi



Banyaknya Elemen Himpunan ($H$) ,


Relasi dari $H$ ke $H $ yaitu $R(H,H)$ dinyatakan dalam Matriks Ajasen berikut:
Plot Relasi $R(H,H)$ adalah seperti berikut

\begin{figure}
\caption{Grafik Relasi dari $H$ ke $H$}
\end{figure} 


Bahan Diskusi:

\begin{enumerate}
\item Sebutkan ciri-ciri matriks yang memenuhi sifat (i) reflektif, (ii) simetrik, (iii) transitif dan (iv) ekuivalensi
\item Sebutkan ciri-ciri grafik yang memenuhi sifat (i) reflektif, (ii) simetrik, (iii) transitif  dan (iv) ekuivalensi 
\item Selidiki dan jastifikasi apakah $R$ memenuhi (i) reflektif, (ii) simetrik, (iii) transitif, (iv) ekuivalensi?
\end{enumerate}

\section{Fungsi}

Perhatikan bahwa relasi $R:A\rightarrow B$ adalah himpunan bagian
dari $A\times B$. Dalam keadaan demikian bisa jadi ada unsur $A$
yang tidak mempunyai kawandi $B$ atau suatu unsur di $A$ memiliki
lebih dari satu kawan di $B$. Beberapa relasi yang sifatnya khusus
disebut, yaitu tidak memiliki  sifat tadi disebut fungsi. Dengan
kata lain, setiap unsur di $A$ memiliki satu dan hanya satu kawan
unsur $B$.

\begin{definition}
$f:A\rightarrow B$ adalah suatu hubungan yang memiliki sifat bahwa
\[\forall a\in A,\;\exists !, \;b\in B,\;\ni b=f(a)\]
\end{definition}

Dalam fungsi ada tiga komponen yang harus dipenuhi yaitu
\begin{enumerate}
\item Domain (daerah asal), misalnya himpunan $A$.
\item Kodomain (daerah kawan), misalnya himpunan $B$.
\item Aturan pemetaan $b=f(a)$ atau $y=f(x)$ jika fungsinya dari
$X$ ke $Y.$

\end{enumerate}
Dilihat pada diagram  panah, maka diagram panah suatu fungsi
memiliki ciri-ciri sebagai berikut:
\begin{enumerate}
\item  ada panah yang keluar dari domain,
\item panah yang keluar untuk masing-masing unsur hanya ada 1,
\item tidak ada unsur yang tidak memiliki panah keluar.
\end{enumerate}


\subsection{ Jenis-Jenis Fungsi} Dalam fungsi tidak disyaratkan
bahwa semua unsur kodomain harus memiliki prakawan di domain.
Demikian juga tidak ada keharusan bahwa dua unsur asal harus
memiliki kawan yang  berbeda. Dilihat dari cara pengambilan unsur
daerah kawan, fungsi dapat dibedakan menjadi beberapa macam yaitu
surjektif, injektif dan bijektif. Fungsi injektif dari suatu
himpunan ke dirinya sendiri sering disebut sebagai 
permutasi 

 \begin{definition} Fungsi f dari X ke
Y dikatakan fungsi satu-satu (injektif), jika setiap unsur berbeda
memiliki kawan yang berbeda pula. \[f:\text{ injektif
}\;\leftrightarrow \forall x_1,x_2 \big[(x_1\neq x_2)\Rightarrow
f(x_1)\neq f(x_2)\big]\] \end{definition}


\begin{definition}
Fungsi f dari X ke Y dikatakan fungsi pada (surjektif), jika
setiap unsur daerah kawan memiliki prakawan atau prabayangan.
\[f:\text{ surjektif }\;\leftrightarrow \forall y \in Y,\exists
x \in X\;\ni, y=f(x)\]
\end{definition}

\begin{definition}
Fungsi f dari X ke Y dikatakan fungsi korespondensi satu-satu
(bijektif), jika f sekaligus injektif dan surjektif.
\[f:\text{bijektif }\;\leftrightarrow \forall y \in Y,\exists
x \in X\;\ni, y=f(x)\text{ dan } (f(x_1)=f(x_2)) \Rightarrow
(x_1=x_2)\]
\end{definition}

\begin{theorem}
Jika suatu fungsi $f$ dari $X$ yang \ul{berhingga} ke dirinya
sendiri bersifat injektif, maka dia akan bersifat surjektif,
sehingga dia juga merupakan korespondensi satu-satu.
\end{theorem}

{Bukti:}

Andaikan $f$ tidak bersifat surjektif, berarti ada $x_1\in X$
sedemikian sehingga tidak ada $x$ sehingga $x_1 =f(x)$, sehingga
$R_A \neq A $. Tetapi  karena $f$ satu-satu berarti $D_A=A\equiv
R_A$. Karena $R_A\subseteq A$, $R_A \equiv A$ berarti
$R_A=A$(lihat Teorema \ref{dl:ek.sama}). Ini merupakan kontradiksi
($A\neq A$). Oleh karena itu haruslah juga $f$ bersifat surjektif.
Sifat ini tidak berlaku untuk himpunan tak hingga. Misalnya jika
$X=N$ dan $f(n)=2n-1$, maka $f$ bersifat injektif, tetapi tidak
surjektif, karena bilangan asli dipetakan satu-satu ke subsetnya,
himpunan bilangan asli ganjil.

\begin{theorem}
Jika suatu fungsi dari $X$ yang  \ul{berhingga}
ke dirinya sendiri bersifat surjektif, maka dia akan bersifat
injektif, sehingga dia juga merupakan korespondensi satu-satu.
\end{theorem}

Dilihat dari bentuk hubungan antara $x\in X$ dengan $y \in Y$ pada fungsi
dari $X$ ke $Y.$, fungsi dapat dibedakan atas:
\begin{enumerate}
\item fungsi aljabar (polinomial), yaitu fungsi yang berbentuk $y=\sum_{i=0}^n a_ix^i$.
beberapa fungsi istimewa termasuk dalam kelompok ini adalah
\begin{enumerate}
\item fungsi konstan, yaitu bila $a_i=0, $untuk $\forall i\neq 0;$
\item fungsi linier, yaitu bila $n=1$ dan $a_1\neq 0$
\item fungsi kuadrat, yaitu bila $n=2$ dan $a_2\neq 0$
\end{enumerate}
\item fungsi transenden, yaitu fungsi-fungsi selain fungsi aljabar\index[subjek]{fungsi!aljabar}
seperti fungsi trigonmetri (mengandung fungsi sin, cos, dll), fungsi log dan
exponensial.
\end{enumerate}

Representasi relasi dengan matriks merupakann bidang yang berkembang melalui
teori graph. Matriks representasi tersebut biasa disebut matriks ajasen adjacent matrix 
Representasi dengan matriks memungkinkan kita memanfaatkan perangkat
lunak ( software ) untuk menggambar grafik dari relasi. Hal ini
bermanfaat ntuk menggambar relasi dengan unsur yang cukup banyak. Pada contoh berikut
baik matriks relasi maupun grafiknya bisa dihasilkan dengan
software atau program R.
\subsection{Ilustrasi  Fungsi Anggota Himpunan dengan Program R}









Navigasi:


Bangkitkan Himpunan Baru

Relasi Himpunan 



Operasi Himpunan



Relasi Himpunan





Ilustrasi Fungsi 


 Banyaknya Elemen Himpunan ($X$) 
    , 








Relasi dari $X$ ke $X $ yaitu $R(X,X)$ dinyatakan dalam Matriks Ajasen berikut:



 



Plot Relasi $R(X,X)$ adalah seperti berikut  
 






 Bahan Diskusi: 
 


Sebutkan ciri-ciri matriks ajasen dan tampilan grafik dari  sebuah fungsi dari suatu himpunan ke dirinya 
sendiri, 
Sebutkan ciri-cirinya jika merupakan fungsi, apakah merupakan fungsi konstan?, fungsi surjektif, atau injektif?
 
Untuk relasi $R$ di atas, selidiki dan jastifikasi apakah $R$  merupakan fungsi atau relasi?


Jika merupakan fungsi, apakah merupakan fungsi konstan?, fungsi surjektif, atau injektif?
 
Jika bukan fungsi apakah  relasinya  memenuhi (i) Reflektif, (ii) Simetrik, (iv) Transitif, (iv) Ekuivalensi ?


Referensi
 


R.~Courant and H.~Robbins.
   What is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and
  Methods.
  Oxford University Press, Oxford, 1978.

M.C. Gemignani.
   Basic Concept of Mathematics and Logic.
  Addison Wisley Pub.Co., 1968.

S.K. Haza's, S. Dyastriningrum & I. Ngathoillah.
   Sejarah Matematika, Klasik dan Modern .
  UAD Presss, Yogyakarta, 2004.

S.~Lipschutz.
   Set Theory and Relatd Topics .
  Schaum's Outline Series, McGraw-Hill Book Co., New York, 1974.

A.H. Nasoetion.
   Landasan Matematika.
  Bharata Karya Aksara, Jakarta, 1980.

A.D. Polimeni and H.J. Straight.
   Foundations of Discrete Mathematics.
  Brooks/Cole Pub. Co., California, 1985.

E.T. Ruseffendi.
   Dasar-dasar Matematika Modern untuk Guru.
  Tarsito, Bandung, 3 edition, 1982.

R.~Soekadijo.
   Logika Dasar .
  Gramedia, Jakarta, 1983.