Distribusi Poisson, Zero Inflated Poisson, dan Poisson Inverse Gaussian (Family GAMLSS)

DAFTAR ISI

Dalam teori probabilitas dan statistika, distribusi Poisson adalah distribusi probabilitas diskrit yang menyatakan peluang jumlah peristiwa yang terjadi pada periode waktu tertentu apabila rata-rata kejadian tersebut diketahui dan dalam waktu yang saling bebas sejak kejadian terakhir. Distribusi ini pertama kali diperkenalkan oleh Simeon Denis Poisson pada tahun 1781-1840. Saat ini model distribusi Poisson telah banyak dikembangkan dan telah banyak dibahas dalam berbagai tulisan. Distribusi Poisson telah berkembang sehingga memunculkan jenis - jenis model distribusi Poisson baru seperti distribusi Zero-Inflated Poisson (ZIP) dan distribusi Poisson Inverse Gaussian (PIG). Kali ini akan dibahas mengenai jenis-jenis perkembangan dari model distribusi Poisson yaitu distribusi Zero-Inflated Poisson (ZIP) dan distribusi Poisson Inverse Gaussian (PIG).

Tujuan

• Menganalisis dengan memberikan gambaran secara visual untuk tiga Distribusi yaitu Poisson, ZIP, dan PIG
• Membandingkan Distribusi Poisson, ZIP, dan PIG dengan visual

Distribusi poisson merupakan suatu distribusi untuk peristiwa yang probabilitas kejadiannya kecil, dimana kejadian tergantung pada selang waktu tertentu atau di suatu daerah tertentu dengan hasil pengamatan berupa variabel diskrit dan antar variabel prediktor saling independen. Selang waktu tersebut dapat berupa beberapa saja panjangnya, misalnya semenit, sehari , seminggu, sebulan bahkan setahun. Daerah tertentu yang dimaksudkan dapat berupa suatu garis, suatu luasan, suatu volume, atau mungkin sepotong bahan (walpole, 1995).

Distribusi Poisson memiliki ciri - ciri sebagai berikut:

• Banyaknya percobaan yang terjadi dalam suatu selang waktu atau suatu daerah tertentu, tidak tergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi pada selang waktu atau daerah lain yang terpisah.
• Peluang terjadinya satu hasil percobaan selama suatu selang wakt yang singkat sekali atau dalam suatu selang yang kecil. Sebanding dengan panjang selang waktu tersebut atau besarnya daerah tersebut dan tidak tergantung pada banyak hasil percobaan yang terjadi diluar selang waktu dan daerah tertentu.
• Peluang bahwa lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi dalam selang waktu yang singkat tersebut atau dalam daerah yang kecil tersebut diabaikan.
$$\begin{align*}f(y,\mu)=\left(\frac{\mathbf{e^{-\mu}\mu^{y}}}{\mathbf{y!}}\right)\end{align*} ;y=0,1,2,...$$ dan $\mu>0$ Dalam distribusi Poisson, rataan dan variansi adalah bernilai sama dan dapat dituliskan sebagai berikut: $E(y)=Var(Y)=\mu$

fungsi yang berkaitan

Dengan R kita bisa membangkitkan data, menghitung peluang dan membuat grafik kepadatan dari $PO(\mu)$ melalui 4 perintah dasar berikut.

1. dPO(x,mu)
2. pPO(q,mu)
3. qPO(p,mu)
4. rPO(n,mu)

Ilustrasi Distribusi Poisson

pilih mu batas kiri batas kanan
Gambar 1. Hasil Plot Fungsi Kepadatan Peluang Poisson
Gambar 2. Grafik Batang / Histogram data berdistribusi Poisson Pilih Plot barplot histogram_distribusi
pilih banyak data


pilih yang ditampilkan

ringkasan data

Distribusi Zero Inflated Poisson (ZIP)

Distribusi Zero-Inflated Poisson (ZIP) merupakan pengembangan dari model distribusi Poisson yang digunakan untuk mengidentifikasi hubungan antara variabel bebas dan variabel respon yang banyak memiliki nilai 0. ( Lambret, 1992) Misalnya, dalam sebuah studi dimana variabel dependennya adalah "berapa kali seorang siswa mengalami ketidakhadiran yang tidak biasa", sebagian besar siswa mungkin memiliki nilai 0.
Fungsi kepadatan peluang ZIP dapat dituliskan sebagai berikut:
misalkan $Y$=0 dengan peluang $\sigma$ dengan peluan $(1-\sigma)$ maka $$\begin{align*}f(y)=\mathbf{\sigma+(1-\sigma)e^{-\mu}}\end{align*}; y=0$$ $$\begin{align*}f(y)=\left(\frac{\mathbf{(1-\sigma)e^{-\mu}\mu^y}}{\mathbf{y!}}\right)\end{align*} ; y=0,1,2,...$$ fungsi yang berkaitan

Dengan R kita bisa membangkitkan data, menghitung peluang dan membuat grafik kepadatan dari $ZIP(\mu,\sigma^2)$ melalui 4 perintah dasar berikut.

1. dZIP(x,mu,sigma)
2. pZIP(q,mu,sigma)
3. qZIP(p,mu,sigma)
4. rZIP(n,mu,sigma)

Berdasarkan mean dan variannya, dapat dilihat bahwa distribusi dari Y menunjukkan adanya overdispersi ketika varian > mean.

Ilustrasi Distribusi Zero Inflated Poisson (ZIP)

pilih mu $\mu>0$ pilih sigma $0<\sigma<1$ batas kiri batas kanan
Gambar 3. Hasil Plot Fungsi Kepadatan Peluang ZIP
Gambar 4. Grafik Batang / Histogram data berdistribusi ZIP Pilih Plot barplot histogram_distribusi
pilih banyak data


pilih yang ditampilkan

ringkasan data


Poisson Inflated Gaussian

Distribusi Poisson Inverse Gaussian ( PIG ) merupakan salah satu distribusi mixed poisson. Bentuk dari distribusi mixed poisson tergantung dari distribusi pada random efek $(\nu)$ misalkan g$(\nu)$ adalah fungsi kepadatan peluang dari $\nu$ dan distribusi marjinal untuk $Y$ diperoleh dengan integral $\nu_i$ $$P(Y=y|\mu)=\int{f(y|\mu,\nu)g(\nu)d(\nu)}$$ dengan $$f(y|\mu,\nu)=e^{-\nu \mu}\frac{(\mu \nu)^{y}}{y!}$$ Untuk distribusi PIG, $\nu$ pada persamaan $P(Y=y|\mu)=f(y|\mu,\nu)$ diasumsikan mengikuti distribusi inverse Gaussian dan memiliki fungsi kepadatan peluang yang dapat ditulis sebagai berikut: Distribusi PIG dilambangkan dengan PIG($\mu,\sigma$) $$\begin{align*}f(y,\mu,\sigma)= \left(\frac{\mathbf{2 \alpha}}{\mathbf{\pi}}\right)^{1/2} \mathbf{\mu^{y}e^{(1/\sigma)}} \left(\frac{\mathbf{K(\alpha)}}{\mathbf{(\alpha\sigma)^{y}}}\right) y! \end{align*} ; y=0,1,2,...$$ dimana $$\alpha^2=\frac{1}{\sigma^2}+\frac{2\mu}{\sigma};y=0,1,2,...$$ dengan $\mu>0$ dan $\sigma$>0 dan $K(\alpha)=K_{s}(\alpha)=K_{y-1/2}((\frac{1}{\sigma^2}+\frac{2\mu}{\sigma})^{1/2})$ adalah fungsi Bessel Modifikasi jenis ketiga (Willmott, 1987)

Dengan R kita bisa membangkitkan data, menghitung peluang dan membuat grafik kepadatan dari $PIG(\mu,\sigma^2)$ melalui 4 perintah dasar berikut.

1. dPIG(x,mu,sigma)
2. pPIG(q,mu,sigma)
3. qPIG(p,mu,sigma)
4. rPIG(n,mu,sigma)

Ilustrasi Poisson Inflated Gaussian

pilih mu $\mu>0$ pilih sigma $\sigma>0$ batas kiri batas kanan
Gambar 5. Hasil Plot Fungsi Kepadatan Peluang PIG
Gambar 6. Grafik Batang / Histogram data berdistribusi PIG Pilih Plot barplot histogram_distribusi
pilih banyak data


pilih yang ditampilkan

ringkasan data


ANALISIS DISTRIBUSI POISSON, ZIP, dan PIG

Masukkan Distribusi yang dibandingkan (utama) warna merah pilih distribusi POISSON (1 parameter) ZIP (2 parameter) PIG (2 parameter ) IG (2 parameter ) Masukkan Distribusi yang digunakan sebagai pembanding (pembantu ke 1) warna biru pilih distribusi POISSON (1 parameter) ZIP (2 parameter) PIG (2 parameter )

Masukkan Distribusi yang digunakan sebagai pembanding (pembantu ke 2) warna hijau pilih distribusi POISSON (1 parameter) ZIP (2 parameter) PIG (2 parameter )

distribusi utama silahkan pilih : pilih mu pilih sigma

distribusi pembanding 1 (biru) silahkan pilih : pilih mu pilih sigma

distribusi pembanding 2 (hijau) silahkan pilih : pilih mu pilih sigma

batas kiri batas kanan
Gambar 5. Hasil Analisis 3 Distribusi

DAFTAR PUSTAKA

1. Lambret, 1992. D. Zero-Inflated Poison Regression with an Application to Defects in Manufacturing. Technometrics. Vol.34: 1-14.
2. Walpole, R.E . (1995). Pengantar Metode Statistika. Ahli Bahasa : Ir. Bambang Sumantri, Jakarta ; PT Gramedia Pustaka Utama.
3. Wilmot, G.E (1987),"The Poisson-Inverse Gaussian Distribution as An Alternative to the Negatif Binomial", Scandinavian Actuarial Journal, Vol. 3, No. 4, 113-127