TOPIK: Simulasi dengan Invers Kumulatif

Tujuan Umum

Setelah mempelajari materi ini mahasiswa diharapkan dapat

Tujuan Khusus

Setelah mempelajari materi ini mahasiswa secara khusus diharapkan dapat:
    1. menyebutkan;
    2. menyebutkan ;

Materi

    1.
    2.

Uraian Teori

Pada bagian ini disajikan secara ringkas teori yang mendasari/ terkait topik

sub topik

dst ... untuk fungsi kepadatan kuadratik umum $$f(x,a,k)=2kx,\; 0\leq x\leq a$$ $k$ ditentukan berdasarkan nilai $a$, yaitu $k=1/a^2$. sehingga $$\int_{R_X}f(x)\,dx=1$$ Secara teoritis distribusi ini akan memiliki mean ($\mu_X$) dan varians $\sigma^2_X$ sebagai berikut $$\mu_X=\frac{2a}{3} \;\text{ dan } \sigma^2_X = $$ Fungsi kumulatifnya adalah $\displaystyle{F(x)=\frac{x^2}{a^2}}.$ Invers kumulatifnya adalah $$F^{-1}(x)=a\sqrt{x}.$$ Langkah-langkah simulasi
    1. Bangkitkan $U=U(0,1)$ sebanyak yang diperlukan.
    2. Substitusikan $U$ ke fungsi invers, yaitu $X=F^{1}(U)$ sebanyak yang diperlukan.
    3. Maka $X$ adalah data yang dimaksud.

Ilustrasi dengan R

Pada bagian ini disajikan ilustrasi contoh dengan R

Gambar x. Grafik Fungsi Peluang dan Histogram beberapa Distribusi

Sampel acak sebanyak memiliki Ringkasan statistika seperti berikut ini


dengan Histogram

Simulasi MCMC

Simulasi dengan AR

Untuk pdf yang fungsi kumulatif atau invers kumulatifnya susah diturunkan. Misalnya $$f(x)=\frac{1}{\theta_2\sqrt{2\pi}} \exp\left[{\displaystyle{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\theta_1}{\theta_2}\right)^2}}\right]; \; -\infty < x < \infty $$ untuk suatu nilai $\theta_1 \in \Re, \theta_2 \in \Re^+$ tertentu. Secara teoritis kepadatan ini memiliki mean $\mu_X=\theta_1$ dan deviasi baku $\sigma_X=\theta_2$ dengan fungsi kepadatan sebagai berikut:
Dengan

Bisa dilihat proporsi daerah diatas dan dibawah kurva apakah dipengaruhi oleh besarnya $\theta$. Dalam hal membangkitkan data, karena bentuk kumulatif maupun inversnya tidak sederana, maka cara invers kumulatif tidak mudah diterapkan untuk itu bisa dilakukan dengan metode AR ( Acceptance-Rejection)

Dengan

Kondisi data yang dihasilkan adalah seperti berikut ini. Kolom pertama menunjukkan ringkasan data, sedangkan kolom kedua menunjukkan persentase (pr) data yang diterima (warna biru) dibandingkan dengan banyaknya pengambilan. Sisanya (100-pr) adalah data yang ditolak (warna merah)


Menghitung Pi

Dengan menggunakan prinsip menghitung integral dengan monte carlo. $$\pi=4\int_0^1\sqrt{1-x^2}\;dx$$
Dengan sampel acak sebanyak
Hasil akhir hasil simulasi dan selisihnya dengan $\pi$ eksak adalah

Ringkasan seluruh progres adalah

Simulasi Bivariat Normal dengan MCMC Gibb Sampler

Gibb Sampler adalah cara membangkitkan data multivariat (berkorelasi) dengan membangkitkan data independen secara kondisional secara berulang-ulang.
Mean X ($\mu_X$) deviasi baku ($\sigma_X$) Mean Y ($\mu_Y$) deviasi baku Y ($\sigma_Y$) korelasi (X,Y) $\rho_{XY} $ Dengan sampel acak sebanyak pemanasan sebanyak


Tugas

    1. Bagaimana hubungan antara bentuk fungsi kepadatan (terutama kesimetrisan) dengan besarnya parameter $p$, untuk distribusi Binomial, Geometri, dan Negatif Binomial ?
    2. Bagaimana hubungan antara bentuk fungsi kepadatan dengan besarnya parameter $\lambda$, untuk distribusi Poisson ?
    2. Untuk nilai $n,p,\lambda$ berapa anda melihat distribusi Binomial cukup dekat dengan Poisson ?

Sumber Bacaan Teori:

    [1] Tirta, IM 2003. Pengantar Statistika Matematika (Diktat Kuliah). Jurusan Matematika FMIPA UNiversitas Jember
    [2] Tirta, IM. 2014. Bab 5. Eksplorasi Data. Presentasi dan Analisis Data dengan R. Unej Press
    [3] Sahbaba B. 2012. Chapter 3. Data Exploration Biostatistics with R . Springer
    [4] Ramachandran KM. and Tsokos CP. 2012. Mathematical Statistics With Aplication . Academic Press
    [5] Wikipedia. Normality Test http://en.wikipedia.org/wiki/Normality_test [Akses 28 Oktober 2014]
Naskah ini dibuat dengan tujuan utama sebagai dokumen contoh (IMT).