logoR UNEJ PONSTAT Laboratorium Statistika, FMIPA Universitas Jember Jalan Kalimantan 27 Jember 68121

LN-MS-02. Distribusi Sampling

Pondok Web, for Practicing & Learning Online Statistics where R, LaTeX, and Java gather friendly, ready to assist
oleh I Made Tirta, Jurusan Matematika FMIPA Universitas Jember


Hit Counter
Hit Counter

Tujuan

Setelah menyimak materi yang ada pada modul ini mahasiswa secara umum diharapkan agar mahasiswa memahami sifat-sifat dua distribusi kontinu Gaussian dan Gamma, dan dapat mengaplikasikannya dalam persoalan real yang relevan. Secara khusus mahasiswa diharapkan
    1. Memahami sifat-sifat sebaran dari kombinasi linier dari populasi berdistribusi normal
    2. Memahami sifat-sifat sebaran rata-rata sampel dari populasi berdistribusi normal
    3. Dapat menyimpulkan pengaruh ukuran sampel dan varians populasi terhadap sev=baran rata-rata sampel
    4. Dapat memahami dan mengilustrasikan konsep Teorema Limit Pusat untuk berbagai sebaran populasi
    5. Dapat mengilustrasikan pembentukan bivariate normal yang berkorelasi dari univariate norma; yang independen

Materi

    Distribusi Rata-rata Sampel Normal
    Teorema Limit Pusat
    Bivariat Normal berkorelasi
    Rangkuman
    Daftar Bacaan
    Latihan/Tugas

Populasi

Beberapa fungsi kepadatan distribusi penting diantaranya
  1. Gaussian/ Normal $$f(x,\mu,\sigma)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left[-\frac{1}{2} \left(\frac{x-\mu}{\sigma}^2\right)\right]\; \text{ untux } x\in\Re$$ Untuk $\mu=0$ dan $\sigma=1$ dikatakan berdistribusi Normal Baku
  2. Bivariate Normal $N(\mu_X,\mu_Y,\sigma_X^2,\sigma_Y^2,\rho)$, $$f(x,y)= \frac{1}{2\pi\sigma_X\sigma_Y\sqrt{1-\rho^2}}\; \exp\left[-\displaystyle \frac{Q}{2(1-\rho^2)}\right] \\ $$ dengan $Q=\displaystyle \left(\frac{x-\mu_X}{\sigma_X}\right)^2 -2\rho\left(\frac{x-\mu_X}{\sigma_X}\right)\left(\frac{y-\sigma_Y}{\sigma_Y}\right) +\left(\frac{y-\mu_Y}{\sigma_Y}\right)^2 $
    dan $ -\infty < x<\infty;\;-\infty < y <\infty;\;$ $\sigma_X>0;\;\sigma_Y>0;\; -1\le \rho \le 1.$

Simulasi populasi

Berikut adalah simulasi data yang berfungsi sebagai populasi berhingga ( finite population)
Distribusi: ; Dengan
Mean: ; dan Varians ($\sigma^2$ untuk Gaussian): ; dan Ringkasan statistika Populasi $X$

Fungsi Peubah ACak

Untuk $X$ seperti sebelumnya, maka $Y=b_0+b_1X$ $$E(Y)=b_1\mu_x+b_0 \text{ dan } \sigma^2_Y=b_1^2\sigma^2_X$$
Konstanta b0: ; dan Konstanta b1: ; dan
Ringkasan statistika data $Y$ untuk berbagai nilai $b_0$ dan $b_1$

Distribusi Rata-rata sampel

NSample ($n$): ; dan NSampling(Bootstrap=$B$):
Secara teoritis, varians populasi berbanding terbalik dengan jumlah sampel yaitu $\displaystyle S^2=\frac{\sigma^2}{n}.$
Gambar 1. Histogram dan Densitas Populasi dan Rata-rata Sampel dalam Skala sama
Gambar 2. Histogram dan Densitas Populasi dan Rata-rata Sampel

Distribusi varians sampel

Jika $X$ adalah sampel acak dari distribusi normal $N(\mu,\sigma^2)$, maka $$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum X_i\;\; \sim N(\mu,\sigma^2/n)$$ artinya makin besar $n$ sebaran akan semakin sempit (estimasi semakin akurat). Jika $\sigma$ tidak ditetahui, maka $$\frac{X-\bar{X}}{S/\sqrt{n}}\sim t_{n-1}$$ untuk $n$ yang cukup besar $$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{X-\bar{X}}{S/\sqrt{n}}\sim N(0,1)$$ dengan $S=\sqrt{\frac{\sum (X_i-\bar{X})^2}{n-1}}$
Gambar 1. Histogram dan Rata-rata Sampel dan Varians Sampel

Bivariat Normal

Jika $X_1$ dan $X_2$ i.i.d $N(0,1)$, maka $$(Y_1,Y_2)\sim MVN(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2)$$ dengan $$Y_1=\mu_1+\sigma_1 X_1$$ dan $$Y_2=\mu_2+\rho\sigma_2X_1+\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}X_2$$

Input

Mean 1 $\mu_1$: ; dan Mean 2 $\mu_2$: ; dan
SD 1 $\sigma_1$: ; dan SD 2 $\sigma_2$: ; dan
Korelasi $\rho$: ; dan

Plot Grafik $X_1,X_2$ dan $Y_1,Y_2$

Rangkuman

Transformasi Penting

    Beberpa transformasi penting untuk memahami sebaran sampel diantaranya adalah seperti berikut ini.
  1. Jika $X_i,\; i=1,2,...,n$ saling independen, maka $$M_Y(t)=\prod M_{X_i}(t)$$
  2. Jika $X_i,\; i=1,2,...,n$ saling independen dengan $X_i\sim N(\mu_i,\sigma^2_i)$, maka $$Y_i\sim N(\mu_Y,\sigma^2_Y)$$ dengan $Y=\sum a_iX_i,\; \mu_Y=\sum a_i\mu_i,\; \sigma_Y^2=\sum a_i^2 \sigma_i^2$
  3. Jika $ X \sim N(\mu,\sigma^2)$ maka $Z=\frac{X-\mu}{\sigma} \sim N(0,1)$
  4. Jika $X \sim N(\mu,\sigma^2)$ maka $Z^2=\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\right)^2 \sim \chi^2_1$
  5. Jika sampel acak $X_i \sim N(\mu,\sigma^2),\;i=1,2,...,n$ maka $\sum_{i=1}^n Z_i^2=\sum_{i=1}^n \left(\frac{X_i-\mu}{\sigma}\right)^2 \sim \chi^2_n$
  6. Jika sampel acak $X_i \sim N(\mu,\sigma^2),\;i=1,2,...,n$ maka $\frac{Z}{\sqrt{\chi^2_v/v}}\sim T_v$
  7. Jika sampel acak $X_i \sim N(\mu,\sigma^2),\;i=1,2,...,n$ maka $\bar{X}=\frac{\sum X_i}{n}\sim N(\mu,\sigma^2/n)$
  8. Jika sampel acak $X_i \sim N(\mu,\sigma^2),\;i=1,2,...,n$ maka varians sampel $S^2=\frac{\sum (X_i-\bar{X})^2}{n-1}\sim \chi^2_{n-1}$

Sumber Bacaan Teori:

Mahasiswa diharapkan mengembangkan lebih lanjut pemahaman materi pada modul ini dengan membaca sumber bacaan berikut
    [1] Tirta, IM 2003. Pengantar Statistika Matematika (Diktat Kuliah). Jurusan Matematika FMIPA UNiversitas Jember
    [2] Tirta, IM. 2014. Bab 5. Eksplorasi Data. Presentasi dan Analisis Data dengan R. Unej Press
    [3] Sahbaba B. 2012. Chapter 3. Data Exploration Biostatistics with R . Springer
    [4] Ramachandran KM. and Tsokos CP. 2012. Mathematical Statistics With Aplication . Academic Press
    [5] Dodge Y. 2008. The Concise Encyclopedia of Statistics. Springer

Tugas