\documentclass[12pt]{article}
%100\%   % test comment removal
\begin{document}
\usepackage{graphicx,seminar}
\usepackage{amsmath,amsthm}
\title{Teori dan Praktek Himpunan (Set Theory & Practices), Relasi dan Fungsi}
\author{I Made Tirta}
\address{University of Jember}
\date{Mei 2018}
\maketitle
\begin{abstract}
Himpuan merupakan salah satu materi dalam matematika yang sangat penting dalam membangun kemampuan deduksi
dalam matematika. Oleh karena itu, materi himpunan perlu diajarkan dengan baik sejak sekolah lanjutan. Naskah ini memuat materi 
himpunan (jenis, dan operasinya), relasi dan fungsi dua himpunan. Selain membahas teori dengan pendekatan 
deduktif naskah ini juga menyajikan praktek dengan memanfaatkan kemampuan R. Naskah ini dapat dikatakan sebagai modul dengan 
contoh/ ilustrasi soal berbasis komputer online. Pembaca dapat dengan fleksibel memperbarui
soal-soal yang ada pada latihan dengan program R serta mencocokkan hasil yang diberikan komputer dengan hasil yang dikerjakan secara
manual.  Tulisan ini dapat dibaca oleh para siswa Sekolah Lanjutan, Mahasiswa tingkat awal, serta para guru pengajar 
matematika sekolah lanjutan.  
\end{abstract}

Kata Kunci: Himpunan, Relasi, Fungsi, Matriks Adjacent, Program R

\section{Himpunan}

Tujuan Umum

Setelah mempelajari materi pada bab ini diharapkan agar pembaca memahami konsep himpunan beserta operasinya serta menggunakannya dalam menyelesaikan permasalahan yang berhubungan dengan himpunan.

Tujuan Khusus

Setelah mempelajari materi pada bab ini diharapkan agar pembaca dapat:
  1. memberi contoh berbagai jenis himpunan;
  2. menentukan relasi dua himpunan;
  3. menyelesaikan operasi dasar himpunan;
  4. menentukan sifat-sifat operasi himpunan;
  5. menyelesaikan jumlah dan selisih himpunan;
  6. menunjukkan sifat-sifat relasi $\subseteq; $
  7. menggunakan himpunan untuk memeriksa validitas silogisme.

Materi

  1. Definisi dan jenis himpunan
  2. Relasi himpunan
  3. Operasi dasar himpunan
  4. Sifat-sifat operasi himpunan
  5. Operasi jumlah dan selisih himpunan
  6. Sifat-sifat relasi himpunan bagian/ subset ($\subseteq $)
  7. Pengguaan himpuan dalam silogisme
\subsection{Definisi dan Jenis Himpunan} \subsubsection{Definisi Himpunan} Himpunan pada dasarnya adalah kumpulan objek, namun dalam himpunan `tradisional' kumpulan ini dibatasi dengan jelas, dalam arti dengan jelas dapat ditentukan apakah suatu objek termasuk dalam suatu kumpulan atau tidak. Selain itu dalam himpunan `tradisional' (untuk membedakan dengan pengertian himpunan samar atau fuzzy set ) tidak ada perbedaan tingkat keangggotaan suatu objek pada suatu himpunan. Berbeda dengan himpunan organisasi yang anggotanya mungkin dibedakan atas anggota aktif, pasif dan lain sebagainya. Himpunan sering juga disebut gugus (Lihat misalnya Nasoetion, 1980).

Orang yang dianggap sebagai pengenal himpunan adalah matematikawan Jerman George Cantor (1845-1918). Cantor menggunakan istilah "menge" dalam bahasa German yang berarti ``Hasil usaha penghimpunan beberapa benda yang memiliki ciri pembeda tertentu, menjadi kesatuan". Dalam bahasa Inggris ``menge" disebut set (Nasoetion 1980).

\begin{definition} Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang dibatasi \end{definition} Himpunan pada umumya dinotasikan dengan huruf besar dan objek yang menjadi angggota ditulis diatara kurung kurawal, $\{\}$. Objek yang menjadi anggota suatu himpunan disebut {unsur atau elemen. Unsur-unsur suatu himpunan dapat dinyatakan dengan menulis keseluruhannya (disebut cara tabulasi) atau dengan menulis aturan yang menjadi ciri (disebut cara rumusan atau deskripsi). \begin{example} $A=\{2,3,5,7,11,13,17\}$, maka dengan jelas dapat ditentukan \begin{enumerate} \item 2 merupakan unsur dari himpunan $A$, ditulis: $2\in A$. \item 3 merupakan unsur dari himpunan $A$, ditulis: $3\in A$. \item 4 bukan merupakan unsur dari himpunan $A$, ditulis: $2\not\in A$. \end{enumerate} Himpunan $A$ dapat juga dinyatakan sebagai himpunan bilangan prima sama atau dibawah 17, dalam notasi matematika \[A=\{x|x\le 17 \wedge x:\text{prima}\}\;\text{ atau }\] \[A=\{x:x\le 17 \text{ dan } x \text{ adalah prima}\}\;\text{ atau }\] \[A=\{x;x\le 17 \text{ dan } x \text{ adalah prima}\}\] \end{example} Antara $x$ dan deskripsinya umumnya digunakan tanda ``$|$", namun ada juga yang menggunakan tanda ``:" dan ``;". (Ruseffendi1982) \begin{example} $G$ adalah kumpulan Gadis-gadis dengan tinggi badan antara 150 cm sampai dengan 165 cm dan dengan berat badan dari 50kg sampai dengan 60 kg. Dalam kumpulan ini jelas kriteria untuk menjadi anggota, dalam arti, setiap kita mengambil seorang gadis, berat dan tingginya dapat diukur dengan pasti, dengan demikian dapat ditentukan dengan jelas apakah dia termasuk dalam kategori dimaksud. Jadi $G$ adalah suatu himpunan. \end{example} \begin{example} $M$ adalah kumpulan Gadis-gadis manis. Dalam kumpulan ini tidak jelas kriteria untuk menjadi anggota, sehingga $M$ bukan merupakan suatu himpunan, karena jika kita mengambil seorang gadis, tidak jelas apakah dia termasuk gadis manis atau tidak. \end{example} \subsection{Jenis-jenis Himpunan} \begin{definition} Himpunan semesta, dinotasikan dengan $S$ atau $U$ adalah himpunan dari semua objek yang dibicarakan (menjadi pembicaraan)\newline \end{definition} Himpunan semesta disebut juga himpunan universal ( universal set). \begin{example} Beberapa contoh himpunan semesta misalnya \begin{enumerate} \item $U$ adalah himpunan bilangan riil, \item $U$ adalah himpunan manusia. \end{enumerate} \end{example} \begin{definition} Kardinal suatu himpunan adalah banyaknya unsur dari himpunan tersebut. Kardinal himpunan $A$ dinotasikan dengan $\#(A)$ \end{definition} \begin{example} Untuk $A=\{1,3,5,7,9\}$, maka $\#(A) = 5$. \end{example} Dilihat dari kardinalnya himpunan dapat dibedakan menjadi himpunan kosong, himpunan berhingga dan himunan takhingga. Himpunan kosong atau empty set atau void set, dinotasikan dengan $\emptyset$ atau $\{\}$ adalah himpunan yang tidak memiliki unsur dengan kata lain \[A=\emptyset \text{ jika dan hanya jika } \#(A)=0\] \end{definition} \begin{definition} Himpunan berhingga atau finite set adalah himpunan yang kardinalnya 0 atau merupakan bilangan asli tertentu \[A\text{ himpunan berhingga jika dan hanya jika } 0\le \#(A)<\infty\] \end{definition} \begin{definition} Himpunan takhingga adalah himpunan yang kardinalnya tak hingga \[A \text{ himpunan takhingga jika dan hanya jika } \#(A)=\infty\] \end{definition} \begin{example} $H$ adalah himpunan manusia berkaki lima adalah merupakan himpunan kosong. \end{example} \begin{example} $A=\{2,3,5,7\}$ adalah merupakan himpunan berhingga. \end{example} \begin{example} $N$ himpuan seluruh bilangan bulat adalah merupakan himpunan takhingga. \end{example} Himpunan dapat diilustrasikan dengan diagram yang disebut diagram Venn. Diagram Venn (yang lengkap) terdiri atas (i) persegi panjang untuk mengambarkan himpunan semesta, (ii) kurva tertutup untuk menggambarkan himpunan . \subsection{ Relasi Himpunan} \subsubsection{Jenis-jenis Relasi Himpunan} Dilihat dari unsur-unsur yang menyusun himpunan-himpunan, beberapa himpunan mungkin sama sekali tidak memiliki unsur yang sama, memiliki beberapa unsur yang sama, atau semua unsur-unsurnya sama. \begin{definition}[Himpunan Saling lepas] Dua himpunan dikatakan saling lepas atau disjoint set jika kedua himpunan itu sama sekali tidak memiliki unsur bersama. \[A||B\text{ jika dan hanya jika } \forall x, (x\in A \rightarrow x\not\in B) \wedge (x\in B \rightarrow x\not\in A)\] \end{definition} \begin{definition}[Himpunan berpotongan] Dua himpunan dikatakan berpotongan (dinotasikan $\between$) jika kedua himpunan itu memiliki beberapa unsur bersama. \[A\between B\text{ jika dan hanya jika } \exists x\;\ni x\in A \wedge x\in B\] \end{definition} \begin{definition}[Himpunan sama] Dua himpunan dikatakan sama jika semua unsur masing-masing himpunan merupakan unsur bersama. \[A=B\text{ jika dan hanya jika } \forall x, x\in A \leftrightarrow x\in B\] \end{definition} \begin{definition}[Himpunan ekuivalen] Dua himpunan dikatakan ekuivalen jika keduanya memiliki kardinal yang sama. \[A\equiv B \,\leftrightarrow\, \#(A)=\#(B)\] \end{definition} \begin{definition}[Himpunan bagian] Suatu himpunan dikatakan himpunan bagian ( subset) dari himpunan lain, jika seluruh unsurnya merupakan unsur himpunan lain tadi. \[A \subseteq B \leftrightarrow \forall x,\,(x\in A \Rightarrow x \in B)\]\end{definition} \begin{theorem}[Kesamaan dua himpunan] \label{dl.himp.sama} \[A=B \Leftrightarrow (A \subseteq B)\wedge (B\subseteq A)\] \end{theorem} \underline{Bukti:} \par Berdasarkan definisi maka jika $A=B$ berlaku: \begin{align*} \Rightarrow & \forall x, x \in A \Leftrightarrow x\in B \\ \Rightarrow & \forall x,(x \in A \Leftarrow x\in B)\wedge (x \in A \Rightarrow x\in B) \\ \Rightarrow & (A \subseteq B) \wedge (B\subseteq A) \end{align*} Sebaliknya jika $ (A \subseteq B) \wedge (B\subseteq A)$ berlaku: \begin{align*} \Rightarrow & \forall x,(x \in A \Leftarrow x\in B)\wedge (x \in A \Rightarrow x\in B) \\ \Rightarrow & \forall x, x \in A \Leftrightarrow x\in B \\ \Rightarrow & A = B \end{align*} \begin{example} Jika $A=\{2,3,5\}$ dan $B=\{1,2,3,4,5\}$ maka $A \subseteq B $. \end{example} \begin{theorem} \label{dl:ek.sama} Jika $A$ dan $B$ adalah himpunan-himpunan berhingga yang bersifat $A\subseteq B$ dan $A\equiv B$, maka $A=B$ \end{theorem} \begin{definition}[Keluarga himpunan] Keluarga himpunan adalah himpunan yang unsur-unsurnya adalah himpunan-himpunan. \end{definition} \begin{definition}[Himpunan kuasa] Himpunan kuasa dari suatu himpunan adalah keluarga himpunan yang beranggotakan semua subset dari himpunan tadi. \[P_A=\{B|B \subseteq A\}\] \end{definition} \begin{example} Jika $A=\{1,3,5\}$ dan $B=\{2,4,6,8\} $, maka $A||B$. \end{example} \begin{example} Jika $C=\{4,5,7,9\}$ dan $D=\{5,7,11,12,15\}$, maka $A$ berpotongan dengan $(\between)\,B$ \end{example} \begin{example} $A=\{2,3,5\}$ dan $B=\{3,2,5\}$ adalah merupakan himpunan yang sama. \end{example} \begin{example} Jika $A=\{2,3,4\},B=\{2,3,5\},C=\{a,b,c\}$ maka \begin{enumerate} \item $A\equiv B \equiv C$ \item $A \between B$ \item $A||C$ dan $B||C$ \end{enumerate} \end{example} \begin{example} Jika $A,B,C$ adalah suatu himpunan, maka $K=\{A,B,C\}$ adalah keluarga himpunan. \end{example} \begin{example} Jika $A=\{1,2\}$, maka $P_A=\{\{\},\{1\},\{2\},\{1,2\}\}$. Jika $B=\{a,b,c\}$ maka $P_B=\{\{\},\{a\},\{b\},\{c\}, \{a,b\},\{a,c\},\{b,c\},\{a,b,c\}\}$ \end{example} \begin{theorem} $\#(A)=n$ maka $\#(P_A)=2^n$. \end{theorem} \subsection{Ilustrasi/ Praktek dengan R} \end{document}

Navigasi: Bangkitkan Himpunan Baru Relasi Himpunan Operasi Himpunan Relasi Anggota Himpunan
Bangkitkan Himpunan
Himpunan Semesta (S), kardinal ($nS$, maks 30): ,
nilai minimum , nilai maksimum .

Himpunan A, kardinal (< $\;nS\, $):

Himpunan B, kardinal (<$\;nS\, $): Khusus:

Himpunan C, kardinal (<$\;nS\, $): Khusus:

Jika terjadi error, cobalah naikkan kardinal supperset atau turunkan kardinal subset.
Anggota Himpunan
, apakah merupakan elemen ($\in$ ) dari Himpunan
Hasil

Relasi Himpunan
Apakah Himpunan I memiliki relasi Himpunan II ?
Hasil


Gambar 1.1 menunjukkan Diagram Venn himpunan A , himpunan B dan himpunan C; bilangan dalam diagram menunjukkan kardinal pada bagian tersebut.


\documentclass[12pt]{article}
%100\%   % test comment removal
\begin{document}
\begin{figure}
\caption{Diagram Venn Himpunan A, B dan C [tanpa menggambar Himpunan Semesta]}
\end{figure}
\section{Operasi Himpunan}
\subsection{  Operasi Dasar Himpunan} Ada tiga operasi dasar
dalam himpunan yaitu: operasi uner komplemen ($()^c$), operasi
biner irisan $(\cap$) dan gabungan ($\cup$). Ketiga operasi ini
ekuivalen dengan operasi negasi, konjungsi dan disjungsi pada
logika. Selain itu pada himpunan juga dikenal operasi selisih dan
perkalian himpunan.

\begin{definition}[Operasi Komplemen]
Komplemen suatu himpunan adalah himpuan
yang beranggotakan unsur-unsur dari semesta pembicaraan yang tidak
menjadi unsur himpuan bersangkutan. \[A^c=\{x|x\in U \,\wedge\, x
\not\in A\}\]
\end{definition}

\begin{example}
Jika $U=\{1,2,3,\cdots,10\}$ $A=\{1,3,5\}$ dan
$B=\{5,7,9\}$ \end{example}  maka
\begin{enumerate}
\item $A^c=\{2,4,6,7,8,9,10\}$
\item $B^c = \{1,2,3,4,6,8,10\}$
\end{enumerate}

\begin{definition}[Operasi Irisan]

 Irisan
dua buah himpunan adalah himpunan yang beranggotakan unsur-unsur
yang menjadi unsur bersama kedua himpunan. \[A \cap B =\{ x|x \in
A \wedge x \in B\}\]
\end{definition}

\begin{theorem}
\[A \subseteq B \Leftrightarrow A\cap B=A\]
\end{theorem}



\begin{example}\end{example}
\noindent Jika $U=\{1,2,3,\cdots,10\}$ $A=\{1,3,5\}$ dan
$B=\{5,7,9\}$  maka
$A\cap B = \{5\}$



\begin{definition}[Operasi Gabungan]
 Gabungan dua buah
himpunan adalah himpunan yang beranggotakan semua unsur-unsur yang
menjadi unsur salah satu atau kedua himpunan. \[A \cup B =\{ x|x
\in A \vee x \in B\}\]  \end{definition}

\begin{example}
\noindent Jika $U=\{1,2,3,\cdots,10\}$ $A=\{1,3,5\}$ dan
$B=\{5,7,9\}$  maka
$A\cup B = \{1,3,5,7,9\}$
\end{example}

\subsection{Sifat-sifat Operasi Himpunan}

Secara prinsip, himpunan dengan operasinya merupakan Aljabar
Boole, sehingga dalil-dalil yang berlaku pada opersi perakit
logika dan aljabar Boole juga berlaku pada operasi himpunan.
Demikian juga sifat dualitas berlaku pula pada himpunan. Dengan
demikian pembuktian sifat-sifat operasi pada himpunan analog
dengan pembuktian pada aljabar perakit.

\begin{theorem}[Komplemen Ganda]
 Untuk sembarang himpunan $A$
berlaku:
\begin{equation}
(A^c)^c=A
\end{equation}

\end{theorem}

\begin{theorem}[  Sifat Komutatif/ Pertukaran]
Untuk
sembarang himpunan $A$ dan $B$  berlaku:
 
\begin{equation}
 A\cap B=B\cap A
\end{equation}
\begin{equation}
A\cup B=B\cup A
\end{equation}
\end{theorem}
\begin{theorem}[  Sifat Asosiatif/ Pengelompokan]
Untuk
sembarang himpunan $A,B$ dan $C$ berlaku:
 
\begin{equation}
(A\cap B)\cap C= A\cap (B\cap C)
\end{equation}
\begin{equation}
(A\cup B)\cup C= A\cap(B\cup C)
\end{equation}
\end{theorem}

\begin{theorem}[  Sifat Identitas]
Terdapat identitas untuk interseksi ($ \emptyset$) dan identitas
untuk gabungan  ($U)$ dan untuk setiap himpunan $A$ berlaku
 
\begin{equation}
A\cap U=A\text{ dan } A\cap \emptyset=\emptyset
\end{equation}
\begin{equation}
A\cup U=U\text{ dan } A\cup \emptyset=A
\end{equation}
\end{theorem}

\begin{theorem}[  Sifat Komplemen]
Untuk
setiap $A$ terdapat dengan tunggal $A^c$ sehingga
 
\begin{equation}
(A\cap A^c)= \emptyset
\end{equation}
\begin{equation}
(A\cup A^c) = U
\end{equation}
\end{theorem}

\begin{theorem}[Komplemen identitas]
 
\begin{equation}
\emptyset^c=U
\end{equation}
\begin{equation}
 U^c=\emptyset
\end{equation}
\\end{theorem}

\begin{theorem}[Hukum De Morgan]
Untuk
sembarang himpunan $A$ dan $B$ berlaku
 
\begin{equation}
(A\cap B)^c=A^c\cup B^c
\end{equation}
\begin{equation}
(A\cup B)^c=A^c\cap B^c
\end{equation}
\end{theorem}
\begin{theorem}[  Hukum Distributif]
Untuk
sembarang himpunan $A,B$ dan $C$ berlaku:
 
\begin{equation}
A\cap (B \cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)
\end{equation}
\begin{equation}
A\cup (B \cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)
\end{equation}
\end{theorem}
\begin{theorem}[  Sifat Idempoten]
 Untuk
sembarang himpunan $A$ berlaku
 
\begin{equation}
A\cap A =A
\end{equation}
\begin{equation}
A\cup A = A
\end{equation}
\end{theorem}

Dalam membuktikan sifat-sifat di atas kita menggunakan hasil pada
Teorema  yaitu $A=B$ jika dan hanya jika
$A\subseteq B$ dan $B \subseteq A$. Berikut diambil salah satu
sifat sebagai contoh pembuktian, misalnya $A\cap B=B\cap A$.

\underline{Bukti:}
\par Ambil sembarang unsur $x \in (A\cap B)$
\begin{align*}
\Rightarrow & (x \in A)\wedge (x \in B) &\text{ definisi $A\cap B$}\\
\Rightarrow &  (x \in B)\wedge (x \in A) &\text{ komutatif konjungsi}\\
\Rightarrow &  x \in (B \cap  A) &\text{ definisi $B \cap A$}\\
\Rightarrow &  (A\cap B) \subseteq (B \cap A) &\text{ definisi $A
\subseteq B$}
\end{align*}
Sebaliknya, ambil sembarang unsur $ y \in B\cap A$
\begin{align*}
\Rightarrow & (y \in B)\wedge (y \in A) &\text{ definisi $B\cap A$}\\
\Rightarrow &  (y \in A)\wedge (y \in B) &\text{ komutatif konjungsi}\\
\Rightarrow &  y \in (A \cap  B) &\text{ definisi $A \cap B$}\\
\Rightarrow &  (B\cap A) \subseteq (A \cap B) &\text{ definisi $B
\subseteq A$}
\end{align*}
Karena $(A\cap B) \subseteq (B \cap A)$ dan $(B\cap A) \subseteq
(A \cap B)$,  berdasarkan Teorema , maka $(B\cap
A) = (A \cap B)\;\qed$

\subsection{Operasi Jumlah dan Selisih Himpunan}
Selain operasi dasar komplemen, gabungan dan irisan, dalam operasi himpunan dikenal
juga operasi jumlah dan selisih yang definisinya dapat dirumuskan
dengan menggunakan operasi dasar tadi.
\begin{definition}[Operasi Selisih]  Selisih dua buah himpunan adalah himpunan yang
beranggotakan unsur-unsur yang menjadi unsur himpunan pertama yang
tidak menjadi unsur himpunan  pengurang. \[A / B =A-B =\{ x|x \in
A \wedge x \not\in B\}\]
 \end{definition}

\begin{theorem} \[A/B=A\cap B^c\] \end{theorem} \begin{definition}[Operasi
Jumlah] 
 Jumlah dua
himpunan adalah himpunan yang beranggotakan semua unsur yang
menjadi anggota salah satu himpunan. \[A+B=\{(x\in A \vee x\in B)
\wedge x\not\in (A\cap B)\}\]  \end{definition}

\begin{example} 
Jika $A=\{1,3,5,7,9\}$ dan $B=\{4,5,6,8,10\}$ maka
\begin{enumerate}
\item $ A\cap B = \{5\} $
\item $ A\cup B= \{1,3,4,5,6,7,8,9,10\}$
\item $A/B =\{ 1,5,7,9\}$
\item $B/A= \{4,6,8,10\}$
\item $A+B=\{1,2,3,4,5,7,8,9,10\}$
\end{enumerate}
\end{example}


Beberapa sifat yang terkait dengan opersi selisih dan jumlah serta hubungannya
dengan operasi dasar sebelumnya diberikan pada teorema-teorama berikut.
Ilustrasi dapat menggunakan diagram Venn sedangkan pembuktian secara  ormal dapat
menggunakan definisi kesamaan dua himpunan.

\begin{theorem} Untuk sembarang
himpunan $A,B$ \[A+B=(A\cup B)/(A\cap B)\]  \end{theorem}

\begin{theorem}
 Untuk
sembarang himpunan $A,B$
\[A+B=(A/B)\cup(B/A)\]
\end{theorem}


\begin{theorem}[Komutatif jumlah]
 Untuk sembarang himpunan $A,B$ \[A+B=B+A\]  \end{theorem}

\begin{theorem}[Distributif Selisih] Untuk sembarang himpunan $A,B,C$
  \begin{equation} (A\cup B)/C=(A/C)\cup (B/C)
\end{equation} \begin{equation} (A\cap B)/C=(A/C) \cap (B/C)
\end{equation} \end{theorem}


\begin{definition}[Partisi himpunan]   Himpunan $A$
dan $B$ dikatakan partisi dari himpunan C jika dan hanya jika $A$
dan $B$ saling lepas dan gabungannya sama dengan $C.$ \[A,B \text{
partisi dari } C \leftrightarrow \big[(A\cap B=\emptyset)\wedge
(A\cup B=C)\big]\] \end{definition}
\subsection{Ilustrasi dan Latihan Operasi Himpunan dengan R}
\end{document}
Navigasi: Bangkitkan Himpunan Baru Relasi Himpunan Operasi Himpunan Relasi Anggota Himpunan
Perhatikan contoh-contoh himpunan sebelumnya



Opersasi
Himpunan II ?
Menghasilkan

Diagram Venn Berpasangan

\documentclass[12pt]{article}
%100\%   % test comment removal
\begin{document}
\begin{figure}
\caption{Diagram Venn Dua Himpunan [Bilangan dalam diagram menunjukkan kardinal pada bagian tersebut]}
\end{figure}
\section{  Sifat-sifat Lanjut Relasi Himpunan bagian}

Konsep himpunan  bagian ($\subset$)
ekuivalen dengan konsep implikasi logis pada himpunan,
karenanya implikasi logis dan penalaran dapat dimanfaatkan untuk mempelajari
sifat-sifat himpunan bagian seperti diuraikan berikut ini.
\begin{theorem}
\label{th:rel.1}
 Relasi $\subseteq$ adalah relasi yang bersifat
refleksif, transitif tetapi non simetrik yaitu:
 
\begin{equation}
\forall A,\; A \subseteq A
\end{equation}
\begin{equation}
\forall (A,B,C)\; \big[(A \subseteq B)\wedge(B\subseteq C)\big]
\Rightarrow (A\subseteq C)
\end{equation}
\begin{equation}
\forall (A,B) \big[(A \subseteq B)\wedge(B\subseteq A)\big]
\Rightarrow (A=B)
\end{equation}
\end{theorem}

\begin{theorem}
\label{th:rel.2} Untuk sembarang himpunan $A$ dari semesta $U$
maka
\begin{enumerate}
\item $A \subseteq A         $
\item $\emptyset \subseteq A$
\item $A \subseteq U$
\end{enumerate}
\end{theorem}
Pembuktian butir 1. jelas dari definisi. Sedangkan pembuktian
butir 2. dan butir 3. dapat dilakukan dengan menggunakan bukti
pengandaian.
\par\underline{Bukti 3.:}
\par Andaikan $A\not\subseteq U$ berarti $\exists x\in A,
\;\ni x\not\in U$. Tetapi berdasarkan definisi $U$ \underline{tidak ada}
$x \notin U$. Oleh karena itu terjadi \underline{kontradiksi} dan
pengandaian harus diingkar. Artinya untuk sembarang himpunan $A$,
maka $A \subseteq U$

\begin{theorem}
\[A \subseteq B \Leftrightarrow A\cup B=B\]
\end{theorem}

\underline{Bukti:} Teorema ini mengandung beberapa pengertian dintaranya
\begin{enumerate}
\item $(A \subseteq B) \Rightarrow A\cup B=B$
\item $A \subseteq B \Leftarrow (A\cup B=B)$
\item $(A\cup B)\subseteq B)$
\item $B \subseteq (A\cup B)$
\end{enumerate}
\par Jika $A\subseteq B$ maka $\forall x\in A \Leftrightarrow x\in B.$
Ambil sembarang $y \in (A\cup B)$
\begin{align*}
\Rightarrow & (y \in A)\vee (y \in B) &\text{ definisi $A\cap B$}\\
\Rightarrow &  (y \in B)\vee (y \in B) &\text{ $A\subseteq B$}\\
\Rightarrow &  (y \in B)&\text{ idempoten $\vee$}\\
\Rightarrow &  (A\cup B)\subseteq \cap B) &\text{ definisi $B
\subseteq A$}
\end{align*}

Ambil sembarang $z \in B$
\begin{align*}
\Rightarrow & (z \in A)\vee (z \in B) &\text{ sifat additif $\vee$}\\
\Rightarrow &  (y \in (A\cup B)&\text{ $A\subseteq B$}\\
\Rightarrow &  (y \in B)&\text{ idempoten $\vee$}\\
\Rightarrow &  (A\cup B)\subseteq \cap B) &\text{ definisi $B
\subseteq A$}
\end{align*}
Berarti kita telah membuktikan bahwa
\[A \subseteq B \Rightarrow A\cup B=B\]
Untuk hal sebaliknya, misalkan $A\cup B=B$, berarti $A\cup
B\subseteq B$, karenanya
\begin{align*}
\Rightarrow & \forall x\; x\in (A\cup B), \Rightarrow x\in B \\
\Rightarrow & \not\exists x\,\ni x\in (A\cup B), \wedge x\not\in B \\
\Rightarrow & \not\exists x\,\ni (x\in A \vee x\in B) \wedge x\not\in B \\
\Rightarrow & (\not\exists x \in A)\wedge (\not\exists x \in B) \,\ni x\not\in B \\
\Rightarrow & (\not\exists x \in A)\,\ni x\not\in B \\
\Rightarrow & \forall x, x \in A\Rightarrow x\in B \\
\Rightarrow & A\subseteq B\;\qed
\end{align*}

\begin{theorem}
\label{th:rel.4}
 Untuk himpunan semesta $U$ dan himpunan $A$
\[U \subseteq A \Leftrightarrow A=U\]
\end{theorem}

\begin{theorem}
\label{th:rel.4a}
\[A \subseteq \emptyset \Leftrightarrow A =\emptyset\]
\end{theorem}

\begin{theorem}
Untuk
sembarang himpunan $A$ dan $B$,
\[A \subseteq A\cup B \text{ dan } B \subseteq A\cup B\]
\end{theorem}

%\underline{Bukti:}

\begin{theorem}
Untuk sembarang himpunan $A$ dan $B$,
\[(A\cap B)  \subseteq A \text{ dan } (A\cap B) \subseteq  B \]
\end{theorem}

\begin{theorem}
Untuk sembarang himpunan $A$ dan $B$,
\[(A/ B)  \subseteq A \text{ dan } (B/A) \subseteq  B \]
\end{theorem}

\begin{theorem}
Untuk
$A,B,C\;\subseteq U$
\begin{equation}
(A\subseteq C) \wedge (B\subseteq C) \Rightarrow \big[(A\cap
B)\subseteq (A\cup B) \subseteq C\big]
\end{equation}
\end{theorem}


\begin{theorem}
\label{th:rel.5} Untuk $A,B,C\;\subseteq
U$ \begin{equation}
(A\subseteq C) \vee (B\subseteq C) \Rightarrow \big[(A\cap B)
\subseteq C\big] \end{equation}
\end{theorem}

\begin{theorem}
Untuk $A,B,C\;\subseteq
U$ \begin{equation}
(A\subseteq B) \wedge (B\subseteq C) \Rightarrow \big(A \subseteq
C\big) \end{equation} \end{theorem}


Selain dengan diagram Venn, hubungan
subset dapat juga diilustrasikan dengan menggunakan diagram subset
yang pada dasarnya merupakan pohon subset. Dengan pohon subset,
himpunan-himpunan digambarkan dalam diagram pohon. Himpunan yang
mejadi subset dari himpunan yang lain ditulis lebih rendah dari
himpunan yang menjadi supersetnya  dan dihubungkan dengan garis.
Apabila sudah ada jalur yang menghubungkan suatu hubunganantara
sutu himpunan dengan himpunan lain, maka tidak perlu membuat garis
kusus yang menghubungkan kedua himpunan tadi. Selain itu, dalam
hal hubungan ``subset dari" maka ada dua hal yang selalu benar
yaitu:
\begin{enumerate}
\item setiap himpunan adalah subset dari
Himpunan semesta $S$ dan
\item himpunan kosong, yaitu himpunan yang tidak memiliki anggota, ($\emptyset$)
  adalah subset dari
setiap himpunan.
\end{enumerate}
 Oleh karena itu puncak atas dari  pohon subset adalah himpunan
semesta dan puncak bawahnya adalah himpunan kosong.

\subsection{ Penggunaan Himpunan dalam Silogisme} Dalam Toik Logikatelah dibicarakan tata cara penarikan kesimpulan dengan argumen yang mengandung kuantor. Dalam subbab ini kita akan membahas hal serupa dengan menggunakan bantuan himpunan khususnya relasi himpunan dan diagram Venn. Berikut diberikan rangkuman kondisi unsur dua himpunan ($A$ dan $B$) beserta hubungan yang terjadi diantaranya

No Unsur $A$ dan $B$ Relasi $A$ dengan $B$ $A\cap B$
1 Semua unsur $A$ menjadi unsur $B$ ( universal affirmative) $A \subset B$ $A\cap B=A$ atau $A\cap B^c=\emptyset $
2 Semua unsur $A$ tidak menjadi unsur $B$ ( universal negative) $A \subset B^c$ $A\cap B = \emptyset $
3 Sebagian unsur $A$ menjadi unsur $B$ ( particular affirmative ) $A \between B$ $A\cap B\neq \emptyset $
4 Sebagian unsur $A$ tidak menjadi unsur $B$ ( particular negative ) $A \between B$ $A\cap B^c \neq \emptyset $
Berikut diuraikan sifat-sifat relasi himpunan yang terkait dengan penarikan kesimpulan secara silogisme. \begin{theorem} Untuk $A,B,C\;\subseteq U$ jika $A$ himpunan bagian dari $B$ dan $A$ himpunan bagian dari $C$ maka $A$ himpunan bagian dari $C$ \begin{equation} (A\cap B^c = \emptyset) \wedge (B\cap C^c = \emptyset) \leftrightarrow (A\cap C^c = \emptyset) \end{equation} \end{theorem} \begin{theorem} Untuk $A,B,C\;\subseteq U$ jika $A$ beririsan dengan $B$ dan $B$ beririsan dengan $C$, \begin{equation} (A\cap B = \emptyset) \wedge (B\cap C = \emptyset) \end{equation} maka tidak ada yang dapat disimpulkan tentang $A\cap C$ \end{theorem} \begin{theorem} Untuk $A,B,C\;\subseteq U$ jika $A$ lepas dengan $B$ dan $B$ lepas dengan $C$, \begin{equation} (A\cap B \neq \emptyset) \wedge (B\cap C \neq \emptyset) \end{equation} maka tidak ada yang dapat disimpulkan tentang $A\cap C$ \end{theorem} Secara umum ada 7 aturan mendasar dalam penarikan kesimpulan seperti di atas \begin{enumerate} \item Tidak ada kesimpulan yang dapat diambil dari dua pernyataan negatif. Jika $A||B $ (Tidak ada unsur $A$ menjadi unsur $B$), dan $B || C$ (tidak ada unsur $B$ menjadi unsur $C$), maka tidak ada kesimpulan yang dapat diambil tentang hubungan $A$ dan $C$. \item Jika salah satu premis negatif, maka kesimpulan juga negatif. Jika $A||B$ (tidak ada unsur $A$ yang menjadi $B$ dan $C\subseteq B$ ($C$ bagian dari $B$, maka $A||C$ (tidak ada unsur $A$ yang menjadi $C$. \item Jika kedua premis positif, maka kesimpulannya juga positif. Jika $A\subseteq B$ (semua unsur $A$ menjadi unsur $B$ dan $B\subseteq C$ (semua unsur $B$ menjadi unsur $C$, maka $A\subseteq C$ (semua unsur $A$ menjadi unsur $C$). \item Dalam sillogisme harus ada Unsur (terma/ term }) tengah/ antara dan harus terdistribusi setidaknya sekali dalam premis mayor atau premis minor. \item Semua unsur yang muncul dalam kesimpulan, harus juga muncul dalam premis mayor atau premis minor. \item Tidak ada kesimpulan yang dapat diambil dari dua premis khusus ( particular premises, baik yang positif (afirmatif) maupun yang negatif. Jika $A\cap B \neq \emptyset$ (Jika \underline{ada} unsur $A$ yang menjadi unsur $B$) dan $B\cap C \neq \emptyset$ (\underline{ada} unsur $B$ menjadi unsur $C$), maka tidak ada kesimpulan yang bisa diambil tentang $A\cap C$ \item Jika salah satu premis betuknya khusus (eksistensial), maka kesimpulan juga berbentuk khusus (eksistensial). Jika $A\cap B\neq \emptyset$ (\underline{ada} unsur $A$ menjadi unsur $B$) dan ada beberapa kondisi lain ($B\subset C$, \underline{semua} unsur $B$ menjadi unsur $C$ ), maka kesimpulan yang pasti, yang dapat diambil adalah $A\cap C \neq \emptyset$ (\underline{ada} unsur $A$ menjadi unsur $C$, lihat Gambar \ref{fg:abc4}). \end{enumerate} \subsection{ Bacaan Lebih Lanjut} Untuk mendalami lebih jauh materi pada bab ini selain beberapa sumber yang telah dikutip sebelumnya, dapat juga dibaca beberapa sumber lain diantaranya Ruseffendi (1982), Nasoetion (1980), Lipschutz (1974), Polimeni & Straight (1985) dan Courant & Robbins (1978). Secara umum hampir semua buku teks tetang matematika mulai dengan pembahasan tentang himpunan. \subsection{ Soal-soal Latihan} \begin{enumerate} \item Nyatakan benar atau salah pernyataan-pernyataan berikut ini: \begin{enumerate} \item $\emptyset \in \{2,3\}$ \item $\{1,2,3\}=\{2,3,1\}$ \item $\{x\le 16 |x:\text{prima}\} \subseteq \{0,1,2,\cdots,13\}$ \item $\{1,3,5,\cdots \} \equiv \{1,2,3,\cdots \}$ \item $\{1,3,5,\cdots \} \subseteq \{1,2,3,\cdots \}$ \end{enumerate} \item Untuk himpunan-himpunan berikut, tentukan semua subset-subsetnya. Selanjutnya buat masing-masing diagram subsetnya. \begin{enumerate} \item $\{2,3,4\}$ \item $\emptyset,\{2,3\}\}$ \item $\{ a,b,c,d\}$ \end{enumerate} \item Buktikan Teorema-teorema sebelumnya yang belum dibuktikan. \item Tentukan apakah hubungan antara $A$ dan $C$ bisa dibuat, jika ya tentukan hubungannya, jika tidak, sebutkan alasannya (aturan mana yang tidak terpenuhi, atau yang menyebabkan tidak bisa disimpulkan): \begin{enumerate} \item $A \subseteq B,\; B \subseteq C $ \item $A \subseteq B,\; C \subseteq B $ \item $A \between B,\; B \between C $ \item $A || B, B || C $ \end{enumerate} \item Tentukan kesimpulan yang bisa diambil dari premis-premis berikut. Jika tidak ada kesimpulan yang bisa diambil sebutkan alasannya. \begin{enumerate} \item P1: Semua burung bisa tertawa; P2: Semua cecak bisa tertawa (Simpulkan hubungan burung dengan cecak) \item P1: Semua yang bertelor bisa terbang; P2: Ada binatang berkaki empat yang bertelor (adakah binatang berkaki empat yang bisa terbang?). \item P1: Ada mahasiswa yang menjadi wartawan, P2: Ada wartawan yang suka memeras (apakah ada mahasiswa yang suka memeras?) \item P1: Tidak ada mahasiswa yang menjadi pelawak, P2: tidak ada pelawak yang serius (apakah maahasiswa serius atau tidak ?) \item P1: semua bujur sangkar memiliki 4 sudut siku-siku; P2:Semua persegi panjang memiliki 4 sudut siku-siku (apakah bujur sangkar itu (sama dengan) persegi panjang?) \end{enumerate} \item Buat gambar subset dari serangkaian himpunan-himpunan $A,B,C,D,E$ dan $\emptyset$ berikut: \begin{enumerate} \item $A=\{1,2,3,5\}, B=\{1,3,5\}, C=\{2,3,5\}, D=\{2,5\}, E=\{1,5\}$ \item $A=\{a,b,c,d\}, B=\{b,c,d\}, C=\{a,b,c\}, D=\{b,c\}, E=\{b,d\}$ \end{enumerate} \end{enumerate} \section{Perkalian Kartesius dan Relasi Himpunan}

Tujuan Umum

Setelah mempelajari materi pada bab ini diharapkan agar pembaca memahami konsep dan sifat-sifat relasi dan fungsi serta menggunakannya dalam menyelesaikan permasalahan yang berhubungan relasi dan fungsi.

Tujuan Khusus

Setelah mempelajari materi pada bab ini diharapkan agar pembaca dapat \begin{enumerate} \item menyelesaikan perkalian Kartesius dua himpunan \item memberi contoh berbagai jenis relasi dengan sifat-sifatnya \item memberi contoh berbagai jenis fungsi dengan sifat-sifatnya \end{enumerate}

Materi

\begin{enumerate} \item Perkalian Kartesius \item Relasi dan sifat-sifatnya \item Fungsi \end{enumerate} Selain operasi himpunan yang telah dibicarakan sebelumnya, ada juga operasi himpunan yang disebut perkalian himpunan, yang disebut perkalian kartesius. \subsection{Perkalian Kartesius} \begin{definition}[Operasi Perkalian] Perkalian (atau disebut juga perkalian kartesius\index[subjek]{operasi himpunan!kartesius}) dua buah himpunan adalah himpunan yang beranggotakan semua pasangan berurut unsur pertamanya berasal dari himpunan terkali dan unsur keduanya berasal dari himpunan pengali. \[A \times B =\{ (x,y)|x \in A \wedge y \in B\}\] \end{definition} \hbox to \hsize{\hfill{\vrule width \hsize height 0.25pt}} \begin{exercise}\sf Jika $A=\{1,3,5\}$ dan $B=\{4,5\}$ maka \begin{enumerate} \item $ A\times B = \{(1,4),(1,5),(3,4),(3,5),(5,4),(5,5)\} $ \item $ B\times A = \{(4,1),(4,3),(4,5),(5,1),(5,3),(5,5)\} $ \end{enumerate} \end{exercise} Hasil perkalian himpunan selain dinyatakan dengan himpunan pasangan terurut, dapat juga dinyatakan dengan grafik kartesius. seperti pada Gambar \begin{theorem} Untuk sembarang $A$ dan $B$, secara umum berlaku: \begin{enumerate} \item $A\times B \neq B\times A$ \item $A\times B \equiv B\times A$ \item $(A\times B) = (B\times A) \Leftrightarrow A=B $ \end{enumerate} \end{theorem} \begin{definition} \begin{equation} A\times A= A^2=\{(a_1,a_2)|a_1,a_2 \in A\} \end{equation} \begin{equation} \underbrace{A\times A\times\ldots\times A}_n=A^n =\{(a_1,a_2,\ldots,a_n)|a_i\in A,i=1,2,\ldots,n\} \end{equation} \end{definition} \ \subsection{ Relasi} Relasi atau hubungan antara dua himpunan merupakan himpunan bagian dari perkalian dua himpunan bersangkutan. Relasi dari himpunan $A$ ke $B$ dinotasikan dengan $R_{A\times B}$ atau $R:A\rightarrow B$. Ada tiga komponen yang harus dipenuhi oleh suatu relasi $R:A\rightarrow B$ yaitu: \begin{enumerate} \item Adanya daerah definisi atau daerah asal yang disebut domain, yaitu himpuan $A$ yang yang akan dihubungkan dengan suatu himpunan lain. \item Adanya daerah kawan yang disebut codomain, yaitu himpunan $B$ yang menjadi kawan himpunan $A.$ \item Adanya aturan pengawanan antara himpunan asal $A$ dan himpunan kawan $B$. \end{enumerate} Bentuk aturan pengawanan dapat dilakukan dengan berbagai cara diantaranya adalah dengan mengguakan diagram panah, himpunan pasangan berurut. Jika pasangan berurut $(x,y)$ merupakan ang-gota dari $R$ maka dinotasikan dengan $(x,y)\in R$, jika tidak maka dinotasikan $(x,y)\not\in R$. \begin{exercise} Misalkan $R$ adalah relasi dari $N$ ke $N$ dengan aturan pengawanan \[R=\{(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3),\cdots \}\] atau \[R=\{(x,y)|y\le x;\;x,y\,\in N\}\] \end{exercise} \begin{exercise} Misalkan $R$ adalah relasi dari $N$ ke $N$ dengan aturan $R(n)=2n$ dapat dinyatakan dengan $R=\{(x,y)|y=2x,\;x\in N\}$ \end{exercise} Himpunan bagian dari himpunan kawan yang dipilih menjadi kawan disebut daerah {\em hasil/ range} dari $R$. Pada contoh diatas daerah hasil $H_R$ adalah himpunan bilangan bulat positif, yaitu $H_R=\{2,4,6,\cdots\}$. \subsection{ Sifat-sifat Relasi} Relasi dari suatu himpunan ke dirinya sendiri dapat dibedakan menjadi beberapa jenis diantaranya dilihat dari banyaknya unsur yang berkawan kedirinya sendiri, kesimetrisan perkawanan. Berikut adalah definisi formal dari beberapa sifat relasi himpunan ke dirinya sendiri. \begin{definition} Relasi $R$ dikatakan bersifat reflektif jika \[\forall x,\;(x,x)\in R\] \end{definition} \begin{definition} Relasi $R$ dikatakan bersifat non-refleksif jika \[\exists x,\;(x,x)\not\in R\] \end{definition} \begin{definition} Relasi $R$ dikatakan bersifat irreflekfif jika \[\forall x,\;(x,x)\not\in R\] \end{definition} \begin{definition} Relasi $R$ dikatakan bersifat simetrik jika \[\forall x,y\;(x,y)\in R\,\Rightarrow (y,x)\in R\,\] \end{definition} \begin{definition} Relasi $R$ dikatakan bersifat non-simetrik jika \[\exists x,y\;(x,y)\in R\,\Rightarrow (y,x)\not\in R\,\] \end{definition} \begin{definition} Relasi $R$ dikatakan bersifat asimetrik jika \[\forall x,y\;(x,y)\in R\,\Rightarrow (y,x)\not\in R\,\] \end{definition} \begin{definition} Relasi $R$ dikatakan bersifat transitif jika \[\forall x,y,z\;\Big[(x,y)\in R\,\wedge (y,z)\in R\Big]\Rightarrow (x,z)\in R\,\] \end{definition} \begin{definition} Relasi yang sekaligus bersifat reflektif, simetrik dan transitif disebut relasi ekuivalensi. \end{definition} \begin{exercise} Berikut adalah beberapa contoh relasi yang merupakan relasi refleksif. \begin{enumerate} \item Relasi sama dengan (=) pada himpunan bilangan riil. \[\forall x,\; x=x \text{ yaitu } (xRx)\] \item Relasi kongruensi pada himpunan segitiga. \item Relasi faktor dari, pada himpunan bilangan bulat selai 0. \[\forall x,\; x\text{ faktor dari } x \text{ yaitu } (xRx)\] \item Relasi mirip pada himpunan manusia. Setiap orang mirip dirinya sendiri. \end{enumerate} \end{exercise} \begin{exercise} Berikut adalah beberapa contoh relasi non-reflektif. \begin{enumerate} \item Relasi faktor dari pada himpunan semua bilangan bulat. (Ada 0 tidak dapat dibagi 0) \item Relasi mencintai pada himpunan manusia. Ada orang yang tidak mencintai dirinya sendiri. \end{enumerate} \end{exercise} \begin{exercise} Berikut adalah beberapa contoh relasi irreflektif. \begin{enumerate} \item Relasi tidak sama pada himpunan bilangan riil. Tidak ada bilangan yang tidak sama dengan dirinya sendiri. \item Relasi kurang dari pada himpunan bilangan riil. Tidak ada bilangan yag kurang dari dirinya sendiri. \item Relasi lebih gemuk pada himpunan manusia. Tidak ada orang yang lebih gemuk dari dirinya sendiri. \item Relasi lebih cantik pada himpunan manusia. Tidak ada orang yang lebih cantik dari dirinya sendiri. \end{enumerate} \end{exercise} \begin{exercise} Berikut adalah contoh relasi yang bersifat simetrik. \begin{enumerate} \item Relasi sama dengan pada himpunan bilangan riil. \item Relasi kongruensi pada himpunan segitiga. \item Relasi kenal dengan (pernah berkenalan) pada himpunan manusia \end{enumerate} \end{exercise} \begin{exercise} Berikut adalah contoh relasi yang bersifat non-simetrik. \begin{enumerate} \item[i] Relasi lebih besar atau sama dengan pada himpunan bilangan riil. \item[ii] Relasi mencintai pada himpunan manusia \end{enumerate} \end{exercise} \begin{exercise} Berikut adalah contoh relasi yang bersifat asimetrik. \begin{enumerate} \item[i] Relasi lebih besar dari pada himpunan bilangan riil. \item[ii] Relasi lebih tinggi pada himpunan manusia \item[iii] Relasi lebih tua pada himpunan manusia \end{enumerate} \end{exercise} \begin{exercise} Berikut adalah contoh relasi yang bersifat transitif. \begin{enumerate} \item[i] Relasi lebih besar dari pada himpunan bilangan riil. \item[ii] Relasi lebih tinggi pada himpunan manusia \item[iii] Relasi lebih tua pada himpunan manusia \end{enumerate} \end{exercise} \begin{definition} Relasi $R$ dikatakan bersifat {\bf non-transitif} jika \[\exists x,y,z\;\Big[(x,y)\in R\,\wedge (y,z)\in R\Big]\Rightarrow (x,z) \not\in R\,\] \end{definition} \begin{exercise} Berikut adalah contoh relasi yang bersifat non-transitif. \begin{enumerate} \item Relasi berpotongan pada himpunan. \item Relasi mengenal pada himpunan manusia \end{enumerate} \end{exercise} \begin{definition} Relasi $R$ dikatakan bersifat {\bf intransitif} jika \[\forall x,y,z\;\Big[(x,y)\in R\,\wedge (y,z)\in R\Big]\Rightarrow (x,z) \not\in R\,\] \end{definition} \begin{exercise} Berikut adalah contoh relasi yang bersifat intransitif. \begin{enumerate} \item Relasi pangkat kuadrat dari pada himpunan bilangan riil selain 0 dan 1. \item Relasi akar kuadrat dari pada himpunan bilangan riil selain 0 dan 1. \item Relasi pacar dari pada himpunan manusia. \end{enumerate} \end{exercise} \begin{exercise} Berikut adalah contoh relasi yang bersifat ekuivalensi. \begin{enumerate} \item Relasi sama dengan pada himpunan bilangan riil. \item Relasi kongruensi pada himbunan segitiga. \item Relasi kesejajaran pada himbunan garis. \item Relasi sama tinggi pada himpunan manusia. \item Relasi sama berat pada himpunan manusia. \end{enumerate} \end{exercise} \subsection{Penyajian Relasi dengan Matriks} Selain dengan cara diagram panah, relasi juga dapat disajikan dalam bentuk matriks. Dalam hal ini matriks representasinya memiliki ciri-ciri sebagai berikut. \begin{enumerate} \item Baris matriks menunjukkan unsur-unsur himpunan domain; \item Kolom matriks menunjukkan unsur-unsur himpunan kodomain; \item Jika dua unsur memiliki relasi maka unsur matriks yang bersesuaian adalah 1, jika tidak maka unsurnya adalah 0. \end{enumerate} \begin{exercise} \end{exercise} Misalkan $R_1$ adalah relasi dari $A=\{1,2,3,4\} $ ke $B=\{a,b,c\}$ dengan aturan \[R_1=\{(1,a),(1,b),(2,c),(3,a),(4,b)\}\]. \newline Misalkan pula $R_2$ adalah relasi dari $A$ ke dirinya sendiri dengan aturan \[R_2=\{(1,1),(1,3),(2,2),(3,1),(3,3),(4,4)\},\] maka dalam bentuk matriks dapat disajikan sebagai berikut ini. \[R_1=\left[ \begin{array}{c|ccc} &a&b&c \\ \hline 1&1&1&0\\ 2&0&0&1\\ 3&1&0&0\\ 4&0&1&0 \end{array} \right],\;\quad R_2=\left[ \begin{array}{c|cccc} &1&2&3&4 \\ \hline 1&1&0&1&0\\ 2&0&1&0&0\\ 3&1&0&1&0\\ 4&0&0&0&1 \end{array} \right] \] \end{document}

Ilustrasi Relasi



,


Relasi dari $H$ ke $H $ yaitu $R(H,H)$ dinyatakan dalam Matriks Ajasen berikut:

\documentclass[12pt]{article}
%100\%   % test comment removal
\begin{document}
\begin{figure}
\caption{Grafik Relasi dari $H$ ke $H$}
\end{figure} 


Bahan Diskusi:
\begin{enumerate} \item Sebutkan ciri-ciri matriks yang memenuhi sifat (i) reflektif, (ii) simetrik, (iii) transitif dan (iv) ekuivalensi \item Sebutkan ciri-ciri grafik yang memenuhi sifat (i) reflektif, (ii) simetrik, (iii) transitif dan (iv) ekuivalensi \item Selidiki dan jastifikasi apakah $R$ memenuhi (i) reflektif, (ii) simetrik, (iii) transitif, (iv) ekuivalensi? \end{enumerate}
\section{Fungsi} Perhatikan bahwa relasi $R:A\rightarrow B$ adalah himpunan bagian dari $A\times B$. Dalam keadaan demikian bisa jadi ada unsur $A$ yang tidak mempunyai kawandi $B$ atau suatu unsur di $A$ memiliki lebih dari satu kawan di $B$. Beberapa relasi yang sifatnya khusus disebut, yaitu tidak memiliki sifat tadi disebut fungsi. Dengan kata lain, setiap unsur di $A$ memiliki satu dan hanya satu kawan unsur $B$. \begin{definition} $f:A\rightarrow B$ adalah suatu hubungan yang memiliki sifat bahwa \[\forall a\in A,\;\exists !, \;b\in B,\;\ni b=f(a)\] \end{definition} Dalam fungsi ada tiga komponen yang harus dipenuhi yaitu \begin{enumerate} \item Domain (daerah asal), misalnya himpunan $A$. \item Kodomain (daerah kawan), misalnya himpunan $B$. \item Aturan pemetaan $b=f(a)$ atau $y=f(x)$ jika fungsinya dari $X$ ke $Y.$ \end{enumerate} Dilihat pada diagram panah, maka diagram panah suatu fungsi memiliki ciri-ciri sebagai berikut: \begin{enumerate} \item ada panah yang keluar dari domain, \item panah yang keluar untuk masing-masing unsur hanya ada 1, \item tidak ada unsur yang tidak memiliki panah keluar. \end{enumerate} \subsection{ Jenis-Jenis Fungsi} Dalam fungsi tidak disyaratkan bahwa semua unsur kodomain harus memiliki prakawan di domain. Demikian juga tidak ada keharusan bahwa dua unsur asal harus memiliki kawan yang berbeda. Dilihat dari cara pengambilan unsur daerah kawan, fungsi dapat dibedakan menjadi beberapa macam yaitu surjektif, injektif dan bijektif. Fungsi injektif dari suatu himpunan ke dirinya sendiri sering disebut sebagai permutasi \begin{definition} Fungsi f dari X ke Y dikatakan fungsi satu-satu (injektif), jika setiap unsur berbeda memiliki kawan yang berbeda pula. \[f:\text{ injektif }\;\leftrightarrow \forall x_1,x_2 \big[(x_1\neq x_2)\Rightarrow f(x_1)\neq f(x_2)\big]\] \end{definition} \begin{definition} Fungsi f dari X ke Y dikatakan fungsi pada (surjektif), jika setiap unsur daerah kawan memiliki prakawan atau prabayangan. \[f:\text{ surjektif }\;\leftrightarrow \forall y \in Y,\exists x \in X\;\ni, y=f(x)\] \end{definition} \begin{definition} Fungsi f dari X ke Y dikatakan fungsi korespondensi satu-satu (bijektif), jika f sekaligus injektif dan surjektif. \[f:\text{bijektif }\;\leftrightarrow \forall y \in Y,\exists x \in X\;\ni, y=f(x)\text{ dan } (f(x_1)=f(x_2)) \Rightarrow (x_1=x_2)\] \end{definition} \begin{theorem} Jika suatu fungsi $f$ dari $X$ yang \ul{berhingga} ke dirinya sendiri bersifat injektif, maka dia akan bersifat surjektif, sehingga dia juga merupakan korespondensi satu-satu. \end{theorem} {Bukti:}

Andaikan $f$ tidak bersifat surjektif, berarti ada $x_1\in X$ sedemikian sehingga tidak ada $x$ sehingga $x_1 =f(x)$, sehingga $R_A \neq A $. Tetapi karena $f$ satu-satu berarti $D_A=A\equiv R_A$. Karena $R_A\subseteq A$, $R_A \equiv A$ berarti $R_A=A$(lihat Teorema \ref{dl:ek.sama}). Ini merupakan kontradiksi ($A\neq A$). Oleh karena itu haruslah juga $f$ bersifat surjektif. Sifat ini tidak berlaku untuk himpunan tak hingga. Misalnya jika $X=N$ dan $f(n)=2n-1$, maka $f$ bersifat injektif, tetapi tidak surjektif, karena bilangan asli dipetakan satu-satu ke subsetnya, himpunan bilangan asli ganjil. \begin{theorem} Jika suatu fungsi dari $X$ yang \ul{berhingga} ke dirinya sendiri bersifat surjektif, maka dia akan bersifat injektif, sehingga dia juga merupakan korespondensi satu-satu. \end{theorem} Dilihat dari bentuk hubungan antara $x\in X$ dengan $y \in Y$ pada fungsi dari $X$ ke $Y.$, fungsi dapat dibedakan atas: \begin{enumerate} \item fungsi aljabar (polinomial), yaitu fungsi yang berbentuk $y=\sum_{i=0}^n a_ix^i$. beberapa fungsi istimewa termasuk dalam kelompok ini adalah \begin{enumerate} \item fungsi konstan, yaitu bila $a_i=0, $untuk $\forall i\neq 0;$ \item fungsi linier, yaitu bila $n=1$ dan $a_1\neq 0$ \item fungsi kuadrat, yaitu bila $n=2$ dan $a_2\neq 0$ \end{enumerate} \item fungsi transenden, yaitu fungsi-fungsi selain fungsi aljabar\index[subjek]{fungsi!aljabar} seperti fungsi trigonmetri (mengandung fungsi sin, cos, dll), fungsi log dan exponensial. \end{enumerate} Representasi relasi dengan matriks merupakann bidang yang berkembang melalui teori graph. Matriks representasi tersebut biasa disebut matriks ajasen adjacent matrix Representasi dengan matriks memungkinkan kita memanfaatkan perangkat lunak ( software ) untuk menggambar grafik dari relasi. Hal ini bermanfaat ntuk menggambar relasi dengan unsur yang cukup banyak. Pada contoh berikut baik matriks relasi maupun grafiknya bisa dihasilkan dengan software atau program R. \subsection{Ilustrasi Fungsi Anggota Himpunan dengan Program R} \end{document}



Navigasi: Bangkitkan Himpunan Baru Relasi Himpunan Operasi Himpunan Relasi Himpunan

Ilustrasi Fungsi


,


Relasi dari $X$ ke $X $ yaitu $R(X,X)$ dinyatakan dalam Matriks Ajasen berikut:



Bahan Diskusi:
  1. Sebutkan ciri-ciri matriks ajasen dan tampilan grafik dari sebuah fungsi dari suatu himpunan ke dirinya sendiri,
  2. Sebutkan ciri-cirinya jika merupakan fungsi, apakah merupakan fungsi konstan?, fungsi surjektif, atau injektif?
  3. Untuk relasi $R$ di atas, selidiki dan jastifikasi apakah $R$ merupakan fungsi atau relasi?
    • Jika merupakan fungsi, apakah merupakan fungsi konstan?, fungsi surjektif, atau injektif?
    • Jika bukan fungsi apakah relasinya memenuhi (i) Reflektif, (ii) Simetrik, (iv) Transitif, (iv) Ekuivalensi ?

Referensi

  1. R.~Courant and H.~Robbins. What is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods. Oxford University Press, Oxford, 1978.
  2. M.C. Gemignani. Basic Concept of Mathematics and Logic. Addison Wisley Pub.Co., 1968.
  3. S.K. Haza's, S. Dyastriningrum & I. Ngathoillah. Sejarah Matematika, Klasik dan Modern . UAD Presss, Yogyakarta, 2004.
  4. S.~Lipschutz. Set Theory and Relatd Topics . Schaum's Outline Series, McGraw-Hill Book Co., New York, 1974.
  5. A.H. Nasoetion. Landasan Matematika. Bharata Karya Aksara, Jakarta, 1980.
  6. A.D. Polimeni and H.J. Straight. Foundations of Discrete Mathematics. Brooks/Cole Pub. Co., California, 1985.
  7. E.T. Ruseffendi. Dasar-dasar Matematika Modern untuk Guru. Tarsito, Bandung, 3 edition, 1982.
  8. R.~Soekadijo. Logika Dasar . Gramedia, Jakarta, 1983.
logoR RStudio