Teori dan Praktek Himpunan (Set Theory & Practices), Relasi dan Fungsi

\documentclass[12pt]{article}
%100\%   % test comment removal
\begin{document}
\begin{figure}
\caption{Diagram Venn Himpunan A, B dan C [tanpa menggambar Himpunan Semesta]}
\end{figure}
\section{Operasi Himpunan}
\subsection{  Operasi Dasar Himpunan} Ada tiga operasi dasar
dalam himpunan yaitu: operasi uner komplemen ($()^c$), operasi
biner irisan $(\cap$) dan gabungan ($\cup$). Ketiga operasi ini
ekuivalen dengan operasi negasi, konjungsi dan disjungsi pada
logika. Selain itu pada himpunan juga dikenal operasi selisih dan
perkalian himpunan.

\begin{definition}[Operasi Komplemen]
Komplemen suatu himpunan adalah himpuan
yang beranggotakan unsur-unsur dari semesta pembicaraan yang tidak
menjadi unsur himpuan bersangkutan. \[A^c=\{x|x\in U \,\wedge\, x
\not\in A\}\]
\end{definition}

\begin{example}
Jika $U=\{1,2,3,\cdots,10\}$ $A=\{1,3,5\}$ dan
$B=\{5,7,9\}$ \end{example}  maka
\begin{enumerate}
\item $A^c=\{2,4,6,7,8,9,10\}$
\item $B^c = \{1,2,3,4,6,8,10\}$
\end{enumerate}

\begin{definition}[Operasi Irisan]

 Irisan
dua buah himpunan adalah himpunan yang beranggotakan unsur-unsur
yang menjadi unsur bersama kedua himpunan. \[A \cap B =\{ x|x \in
A \wedge x \in B\}\]
\end{definition}

\begin{theorem}
\[A \subseteq B \Leftrightarrow A\cap B=A\]
\end{theorem}



\begin{example}\end{example}
\noindent Jika $U=\{1,2,3,\cdots,10\}$ $A=\{1,3,5\}$ dan
$B=\{5,7,9\}$  maka
$A\cap B = \{5\}$



\begin{definition}[Operasi Gabungan]
 Gabungan dua buah
himpunan adalah himpunan yang beranggotakan semua unsur-unsur yang
menjadi unsur salah satu atau kedua himpunan. \[A \cup B =\{ x|x
\in A \vee x \in B\}\]  \end{definition}

\begin{example}
\noindent Jika $U=\{1,2,3,\cdots,10\}$ $A=\{1,3,5\}$ dan
$B=\{5,7,9\}$  maka
$A\cup B = \{1,3,5,7,9\}$
\end{example}

\subsection{Sifat-sifat Operasi Himpunan}

Secara prinsip, himpunan dengan operasinya merupakan Aljabar
Boole, sehingga dalil-dalil yang berlaku pada opersi perakit
logika dan aljabar Boole juga berlaku pada operasi himpunan.
Demikian juga sifat dualitas berlaku pula pada himpunan. Dengan
demikian pembuktian sifat-sifat operasi pada himpunan analog
dengan pembuktian pada aljabar perakit.

\begin{theorem}[Komplemen Ganda]
 Untuk sembarang himpunan $A$
berlaku:
\begin{equation}
(A^c)^c=A
\end{equation}

\end{theorem}

\begin{theorem}[  Sifat Komutatif/ Pertukaran]
Untuk
sembarang himpunan $A$ dan $B$  berlaku:
 
\begin{equation}
 A\cap B=B\cap A
\end{equation}
\begin{equation}
A\cup B=B\cup A
\end{equation}
\end{theorem}
\begin{theorem}[  Sifat Asosiatif/ Pengelompokan]
Untuk
sembarang himpunan $A,B$ dan $C$ berlaku:
 
\begin{equation}
(A\cap B)\cap C= A\cap (B\cap C)
\end{equation}
\begin{equation}
(A\cup B)\cup C= A\cap(B\cup C)
\end{equation}
\end{theorem}

\begin{theorem}[  Sifat Identitas]
Terdapat identitas untuk interseksi ($ \emptyset$) dan identitas
untuk gabungan  ($U)$ dan untuk setiap himpunan $A$ berlaku
 
\begin{equation}
A\cap U=A\text{ dan } A\cap \emptyset=\emptyset
\end{equation}
\begin{equation}
A\cup U=U\text{ dan } A\cup \emptyset=A
\end{equation}
\end{theorem}

\begin{theorem}[  Sifat Komplemen]
Untuk
setiap $A$ terdapat dengan tunggal $A^c$ sehingga
 
\begin{equation}
(A\cap A^c)= \emptyset
\end{equation}
\begin{equation}
(A\cup A^c) = U
\end{equation}
\end{theorem}

\begin{theorem}[Komplemen identitas]
 
\begin{equation}
\emptyset^c=U
\end{equation}
\begin{equation}
 U^c=\emptyset
\end{equation}
\\end{theorem}

\begin{theorem}[Hukum De Morgan]
Untuk
sembarang himpunan $A$ dan $B$ berlaku
 
\begin{equation}
(A\cap B)^c=A^c\cup B^c
\end{equation}
\begin{equation}
(A\cup B)^c=A^c\cap B^c
\end{equation}
\end{theorem}
\begin{theorem}[  Hukum Distributif]
Untuk
sembarang himpunan $A,B$ dan $C$ berlaku:
 
\begin{equation}
A\cap (B \cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)
\end{equation}
\begin{equation}
A\cup (B \cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)
\end{equation}
\end{theorem}
\begin{theorem}[  Sifat Idempoten]
 Untuk
sembarang himpunan $A$ berlaku
 
\begin{equation}
A\cap A =A
\end{equation}
\begin{equation}
A\cup A = A
\end{equation}
\end{theorem}

Dalam membuktikan sifat-sifat di atas kita menggunakan hasil pada
Teorema  yaitu $A=B$ jika dan hanya jika
$A\subseteq B$ dan $B \subseteq A$. Berikut diambil salah satu
sifat sebagai contoh pembuktian, misalnya $A\cap B=B\cap A$.

\underline{Bukti:}
\par Ambil sembarang unsur $x \in (A\cap B)$
\begin{align*}
\Rightarrow & (x \in A)\wedge (x \in B) &\text{ definisi $A\cap B$}\\
\Rightarrow &  (x \in B)\wedge (x \in A) &\text{ komutatif konjungsi}\\
\Rightarrow &  x \in (B \cap  A) &\text{ definisi $B \cap A$}\\
\Rightarrow &  (A\cap B) \subseteq (B \cap A) &\text{ definisi $A
\subseteq B$}
\end{align*}
Sebaliknya, ambil sembarang unsur $ y \in B\cap A$
\begin{align*}
\Rightarrow & (y \in B)\wedge (y \in A) &\text{ definisi $B\cap A$}\\
\Rightarrow &  (y \in A)\wedge (y \in B) &\text{ komutatif konjungsi}\\
\Rightarrow &  y \in (A \cap  B) &\text{ definisi $A \cap B$}\\
\Rightarrow &  (B\cap A) \subseteq (A \cap B) &\text{ definisi $B
\subseteq A$}
\end{align*}
Karena $(A\cap B) \subseteq (B \cap A)$ dan $(B\cap A) \subseteq
(A \cap B)$,  berdasarkan Teorema , maka $(B\cap
A) = (A \cap B)\;\qed$

\subsection{Operasi Jumlah dan Selisih Himpunan}
Selain operasi dasar komplemen, gabungan dan irisan, dalam operasi himpunan dikenal
juga operasi jumlah dan selisih yang definisinya dapat dirumuskan
dengan menggunakan operasi dasar tadi.
\begin{definition}[Operasi Selisih]  Selisih dua buah himpunan adalah himpunan yang
beranggotakan unsur-unsur yang menjadi unsur himpunan pertama yang
tidak menjadi unsur himpunan  pengurang. \[A / B =A-B =\{ x|x \in
A \wedge x \not\in B\}\]
 \end{definition}

\begin{theorem} \[A/B=A\cap B^c\] \end{theorem} \begin{definition}[Operasi
Jumlah] 
 Jumlah dua
himpunan adalah himpunan yang beranggotakan semua unsur yang
menjadi anggota salah satu himpunan. \[A+B=\{(x\in A \vee x\in B)
\wedge x\not\in (A\cap B)\}\]  \end{definition}

\begin{example} 
Jika $A=\{1,3,5,7,9\}$ dan $B=\{4,5,6,8,10\}$ maka
\begin{enumerate}
\item $ A\cap B = \{5\} $
\item $ A\cup B= \{1,3,4,5,6,7,8,9,10\}$
\item $A/B =\{ 1,5,7,9\}$
\item $B/A= \{4,6,8,10\}$
\item $A+B=\{1,2,3,4,5,7,8,9,10\}$
\end{enumerate}
\end{example}


Beberapa sifat yang terkait dengan opersi selisih dan jumlah serta hubungannya
dengan operasi dasar sebelumnya diberikan pada teorema-teorama berikut.
Ilustrasi dapat menggunakan diagram Venn sedangkan pembuktian secara  ormal dapat
menggunakan definisi kesamaan dua himpunan.

\begin{theorem} Untuk sembarang
himpunan $A,B$ \[A+B=(A\cup B)/(A\cap B)\]  \end{theorem}

\begin{theorem}
 Untuk
sembarang himpunan $A,B$
\[A+B=(A/B)\cup(B/A)\]
\end{theorem}


\begin{theorem}[Komutatif jumlah]
 Untuk sembarang himpunan $A,B$ \[A+B=B+A\]  \end{theorem}

\begin{theorem}[Distributif Selisih] Untuk sembarang himpunan $A,B,C$
  \begin{equation} (A\cup B)/C=(A/C)\cup (B/C)
\end{equation} \begin{equation} (A\cap B)/C=(A/C) \cap (B/C)
\end{equation} \end{theorem}


\begin{definition}[Partisi himpunan]   Himpunan $A$
dan $B$ dikatakan partisi dari himpunan C jika dan hanya jika $A$
dan $B$ saling lepas dan gabungannya sama dengan $C.$ \[A,B \text{
partisi dari } C \leftrightarrow \big[(A\cap B=\emptyset)\wedge
(A\cup B=C)\big]\] \end{definition}
\subsection{Ilustrasi dan Latihan Operasi Himpunan dengan R}
\end{document}

\documentclass[12pt]{article}
%100\%   % test comment removal
\begin{document}
\begin{figure}
\caption{Diagram Venn Dua Himpunan [Bilangan dalam diagram menunjukkan kardinal pada bagian tersebut]}
\end{figure}
\section{  Sifat-sifat Lanjut Relasi Himpunan bagian}

Konsep himpunan  bagian ($\subset$)
ekuivalen dengan konsep implikasi logis pada himpunan,
karenanya implikasi logis dan penalaran dapat dimanfaatkan untuk mempelajari
sifat-sifat himpunan bagian seperti diuraikan berikut ini.
\begin{theorem}
\label{th:rel.1}
 Relasi $\subseteq$ adalah relasi yang bersifat
refleksif, transitif tetapi non simetrik yaitu:
 
\begin{equation}
\forall A,\; A \subseteq A
\end{equation}
\begin{equation}
\forall (A,B,C)\; \big[(A \subseteq B)\wedge(B\subseteq C)\big]
\Rightarrow (A\subseteq C)
\end{equation}
\begin{equation}
\forall (A,B) \big[(A \subseteq B)\wedge(B\subseteq A)\big]
\Rightarrow (A=B)
\end{equation}
\end{theorem}

\begin{theorem}
\label{th:rel.2} Untuk sembarang himpunan $A$ dari semesta $U$
maka
\begin{enumerate}
\item $A \subseteq A         $
\item $\emptyset \subseteq A$
\item $A \subseteq U$
\end{enumerate}
\end{theorem}
Pembuktian butir 1. jelas dari definisi. Sedangkan pembuktian
butir 2. dan butir 3. dapat dilakukan dengan menggunakan bukti
pengandaian.
\par\underline{Bukti 3.:}
\par Andaikan $A\not\subseteq U$ berarti $\exists x\in A,
\;\ni x\not\in U$. Tetapi berdasarkan definisi $U$ \underline{tidak ada}
$x \notin U$. Oleh karena itu terjadi \underline{kontradiksi} dan
pengandaian harus diingkar. Artinya untuk sembarang himpunan $A$,
maka $A \subseteq U$

\begin{theorem}
\[A \subseteq B \Leftrightarrow A\cup B=B\]
\end{theorem}

\underline{Bukti:} Teorema ini mengandung beberapa pengertian dintaranya
\begin{enumerate}
\item $(A \subseteq B) \Rightarrow A\cup B=B$
\item $A \subseteq B \Leftarrow (A\cup B=B)$
\item $(A\cup B)\subseteq B)$
\item $B \subseteq (A\cup B)$
\end{enumerate}
\par Jika $A\subseteq B$ maka $\forall x\in A \Leftrightarrow x\in B.$
Ambil sembarang $y \in (A\cup B)$
\begin{align*}
\Rightarrow & (y \in A)\vee (y \in B) &\text{ definisi $A\cap B$}\\
\Rightarrow &  (y \in B)\vee (y \in B) &\text{ $A\subseteq B$}\\
\Rightarrow &  (y \in B)&\text{ idempoten $\vee$}\\
\Rightarrow &  (A\cup B)\subseteq \cap B) &\text{ definisi $B
\subseteq A$}
\end{align*}

Ambil sembarang $z \in B$
\begin{align*}
\Rightarrow & (z \in A)\vee (z \in B) &\text{ sifat additif $\vee$}\\
\Rightarrow &  (y \in (A\cup B)&\text{ $A\subseteq B$}\\
\Rightarrow &  (y \in B)&\text{ idempoten $\vee$}\\
\Rightarrow &  (A\cup B)\subseteq \cap B) &\text{ definisi $B
\subseteq A$}
\end{align*}
Berarti kita telah membuktikan bahwa
\[A \subseteq B \Rightarrow A\cup B=B\]
Untuk hal sebaliknya, misalkan $A\cup B=B$, berarti $A\cup
B\subseteq B$, karenanya
\begin{align*}
\Rightarrow & \forall x\; x\in (A\cup B), \Rightarrow x\in B \\
\Rightarrow & \not\exists x\,\ni x\in (A\cup B), \wedge x\not\in B \\
\Rightarrow & \not\exists x\,\ni (x\in A \vee x\in B) \wedge x\not\in B \\
\Rightarrow & (\not\exists x \in A)\wedge (\not\exists x \in B) \,\ni x\not\in B \\
\Rightarrow & (\not\exists x \in A)\,\ni x\not\in B \\
\Rightarrow & \forall x, x \in A\Rightarrow x\in B \\
\Rightarrow & A\subseteq B\;\qed
\end{align*}

\begin{theorem}
\label{th:rel.4}
 Untuk himpunan semesta $U$ dan himpunan $A$
\[U \subseteq A \Leftrightarrow A=U\]
\end{theorem}

\begin{theorem}
\label{th:rel.4a}
\[A \subseteq \emptyset \Leftrightarrow A =\emptyset\]
\end{theorem}

\begin{theorem}
Untuk
sembarang himpunan $A$ dan $B$,
\[A \subseteq A\cup B \text{ dan } B \subseteq A\cup B\]
\end{theorem}

%\underline{Bukti:}

\begin{theorem}
Untuk sembarang himpunan $A$ dan $B$,
\[(A\cap B)  \subseteq A \text{ dan } (A\cap B) \subseteq  B \]
\end{theorem}

\begin{theorem}
Untuk sembarang himpunan $A$ dan $B$,
\[(A/ B)  \subseteq A \text{ dan } (B/A) \subseteq  B \]
\end{theorem}

\begin{theorem}
Untuk
$A,B,C\;\subseteq U$
\begin{equation}
(A\subseteq C) \wedge (B\subseteq C) \Rightarrow \big[(A\cap
B)\subseteq (A\cup B) \subseteq C\big]
\end{equation}
\end{theorem}


\begin{theorem}
\label{th:rel.5} Untuk $A,B,C\;\subseteq
U$ \begin{equation}
(A\subseteq C) \vee (B\subseteq C) \Rightarrow \big[(A\cap B)
\subseteq C\big] \end{equation}
\end{theorem}

\begin{theorem}
Untuk $A,B,C\;\subseteq
U$ \begin{equation}
(A\subseteq B) \wedge (B\subseteq C) \Rightarrow \big(A \subseteq
C\big) \end{equation} \end{theorem}


Selain dengan diagram Venn, hubungan
subset dapat juga diilustrasikan dengan menggunakan diagram subset
yang pada dasarnya merupakan pohon subset. Dengan pohon subset,
himpunan-himpunan digambarkan dalam diagram pohon. Himpunan yang
mejadi subset dari himpunan yang lain ditulis lebih rendah dari
himpunan yang menjadi supersetnya  dan dihubungkan dengan garis.
Apabila sudah ada jalur yang menghubungkan suatu hubunganantara
sutu himpunan dengan himpunan lain, maka tidak perlu membuat garis
kusus yang menghubungkan kedua himpunan tadi. Selain itu, dalam
hal hubungan ``subset dari" maka ada dua hal yang selalu benar
yaitu:
\begin{enumerate}
\item setiap himpunan adalah subset dari
Himpunan semesta $S$ dan
\item himpunan kosong, yaitu himpunan yang tidak memiliki anggota, ($\emptyset$)
  adalah subset dari
setiap himpunan.
\end{enumerate}
 Oleh karena itu puncak atas dari  pohon subset adalah himpunan
semesta dan puncak bawahnya adalah himpunan kosong.


\subsection{  Penggunaan Himpunan dalam Silogisme}
Dalam Toik Logikatelah dibicarakan tata cara
penarikan kesimpulan dengan argumen yang mengandung kuantor. Dalam
subbab ini kita akan membahas hal serupa dengan menggunakan
bantuan himpunan khususnya relasi himpunan dan diagram Venn.
Berikut diberikan rangkuman kondisi unsur dua himpunan ($A$ dan
$B$) beserta hubungan yang terjadi diantaranya



No 
 
Unsur $A$ dan $B$ 
 Relasi $A$ dengan $B$ 
 $A\cap B$ 

 
1 
 
 Semua unsur $A$ menjadi unsur $B$ ( universal affirmative)
 
 $A \subset B$ 
 $A\cap
B=A$
atau  $A\cap B^c=\emptyset $ 

2 
 
 Semua unsur $A$ tidak menjadi unsur $B$ ( universal
negative)
 
 $A \subset B^c$ 
 
 $A\cap
B = \emptyset $  
 3 
 
 Sebagian unsur $A$ menjadi unsur $B$ ( particular
affirmative ) 
 
 $A \between B$ 
 
 $A\cap
B\neq \emptyset $ 
4 
 
 Sebagian unsur $A$ tidak menjadi unsur $B$
( particular
negative ) 
 
 $A \between B$ 
 
 $A\cap
B^c \neq \emptyset $ 


Berikut diuraikan sifat-sifat
relasi himpunan yang terkait dengan penarikan kesimpulan secara silogisme.
\begin{theorem}
Untuk $A,B,C\;\subseteq
U$
jika $A$ himpunan bagian dari $B$ dan $A$ himpunan bagian dari $C$
maka $A$ himpunan bagian dari $C$
\begin{equation}
(A\cap B^c = \emptyset) \wedge (B\cap C^c = \emptyset)
\leftrightarrow (A\cap C^c = \emptyset) \end{equation}
\end{theorem}

\begin{theorem} Untuk $A,B,C\;\subseteq
U$
jika $A$ beririsan dengan $B$ dan $B$ beririsan dengan $C$,
 \begin{equation}
(A\cap B = \emptyset) \wedge (B\cap C = \emptyset) \end{equation}
maka tidak ada yang dapat disimpulkan tentang $A\cap C$ \end{theorem}


\begin{theorem} Untuk $A,B,C\;\subseteq
U$
jika $A$ lepas dengan $B$ dan $B$ lepas dengan $C$,
 \begin{equation}
(A\cap B \neq \emptyset) \wedge (B\cap C \neq \emptyset)
\end{equation} maka tidak ada yang dapat disimpulkan tentang
$A\cap C$ \end{theorem}

Secara umum ada 7 aturan mendasar dalam penarikan
kesimpulan seperti di atas
\begin{enumerate}
\item Tidak ada kesimpulan yang dapat diambil dari
dua pernyataan negatif. Jika $A||B $ (Tidak ada  unsur $A$ menjadi unsur  $B$), dan $B || C$ (tidak ada unsur  $B$ menjadi unsur $C$), maka tidak ada
kesimpulan yang dapat diambil tentang hubungan $A$ dan $C$.

\item Jika salah satu premis negatif, maka kesimpulan juga
negatif. Jika $A||B$ (tidak ada unsur $A$ yang menjadi $B$ dan $C\subseteq B$ ($C$ bagian dari $B$, maka $A||C$ (tidak ada unsur $A$ yang menjadi $C$.


\item Jika kedua premis positif, maka kesimpulannya juga positif.
Jika $A\subseteq B$ (semua unsur $A$ menjadi unsur $B$ dan $B\subseteq C$ (semua unsur $B$ menjadi unsur $C$, maka $A\subseteq C$ (semua unsur $A$ menjadi unsur $C$).
\item Dalam sillogisme harus ada Unsur (terma/   term }) tengah/ antara dan harus terdistribusi setidaknya sekali dalam
premis mayor atau premis minor.
\item Semua unsur yang muncul dalam kesimpulan, harus juga muncul
dalam premis mayor atau premis minor.
\item Tidak ada kesimpulan yang dapat diambil dari dua
premis khusus ( particular premises, baik yang positif
(afirmatif) maupun yang negatif.  Jika $A\cap B \neq \emptyset$ (Jika \underline{ada} unsur $A$ yang menjadi unsur $B$)
dan $B\cap C \neq \emptyset$ (\underline{ada} unsur $B$ menjadi unsur $C$), maka  tidak ada kesimpulan  yang bisa
diambil tentang $A\cap C$ 

\item Jika salah satu premis betuknya khusus (eksistensial), maka
kesimpulan juga berbentuk khusus (eksistensial). Jika $A\cap B\neq
\emptyset$ (\underline{ada} unsur $A$ menjadi  unsur $B$) dan ada beberapa kondisi lain ($B\subset C$, \underline{semua} unsur $B$ menjadi unsur $C$ ), maka
kesimpulan yang pasti, yang dapat diambil adalah $A\cap C \neq
\emptyset$ (\underline{ada} unsur $A$ menjadi unsur $C$, lihat Gambar \ref{fg:abc4}).
\end{enumerate}

\subsection{  Bacaan Lebih Lanjut}
Untuk mendalami lebih jauh materi pada bab ini selain beberapa
sumber yang telah dikutip sebelumnya, dapat juga  dibaca beberapa
sumber lain diantaranya Ruseffendi (1982), Nasoetion (1980), Lipschutz (1974), Polimeni & Straight
(1985) dan Courant & Robbins (1978). Secara umum hampir semua buku teks
tetang matematika mulai dengan pembahasan tentang himpunan.

\subsection{  Soal-soal Latihan}
\begin{enumerate}
\item Nyatakan benar atau salah pernyataan-pernyataan berikut
ini:
\begin{enumerate}
\item $\emptyset \in \{2,3\}$
\item $\{1,2,3\}=\{2,3,1\}$
\item $\{x\le 16 |x:\text{prima}\} \subseteq \{0,1,2,\cdots,13\}$
\item $\{1,3,5,\cdots \} \equiv \{1,2,3,\cdots \}$
\item $\{1,3,5,\cdots \} \subseteq \{1,2,3,\cdots \}$
\end{enumerate}
\item Untuk himpunan-himpunan berikut, tentukan semua
subset-subsetnya. Selanjutnya buat masing-masing diagram
subsetnya.
\begin{enumerate}
\item $\{2,3,4\}$
\item $\emptyset,\{2,3\}\}$
\item $\{ a,b,c,d\}$
\end{enumerate}

\item
Buktikan Teorema-teorema sebelumnya yang belum dibuktikan.

\item Tentukan apakah hubungan antara $A$ dan $C$ bisa dibuat, jika ya tentukan hubungannya, jika tidak, sebutkan alasannya (aturan mana yang tidak terpenuhi, atau yang menyebabkan tidak bisa disimpulkan):
\begin{enumerate}
\item $A \subseteq B,\; B \subseteq C $
\item $A \subseteq B,\; C \subseteq B $
\item $A \between B,\; B \between C $
\item $A || B, B || C $
\end{enumerate}
\item Tentukan kesimpulan yang bisa diambil dari premis-premis berikut. Jika tidak ada kesimpulan yang bisa diambil sebutkan alasannya.
\begin{enumerate}
\item P1: Semua burung  bisa tertawa; P2: Semua cecak bisa tertawa (Simpulkan hubungan burung dengan cecak)
\item P1: Semua yang  bertelor bisa terbang; P2: Ada binatang berkaki empat yang bertelor (adakah binatang berkaki empat yang bisa terbang?).
\item P1: Ada mahasiswa yang menjadi wartawan, P2: Ada wartawan yang suka memeras (apakah ada mahasiswa yang suka memeras?)
\item P1: Tidak ada mahasiswa yang menjadi pelawak, P2: tidak ada pelawak yang serius (apakah maahasiswa serius atau tidak ?)
\item P1: semua bujur sangkar memiliki 4 sudut siku-siku; P2:Semua persegi panjang memiliki 4 sudut siku-siku (apakah bujur sangkar itu (sama dengan) persegi panjang?)
\end{enumerate}


\item Buat gambar subset dari serangkaian himpunan-himpunan
$A,B,C,D,E$ dan $\emptyset$ berikut:
\begin{enumerate}
\item $A=\{1,2,3,5\}, B=\{1,3,5\}, C=\{2,3,5\}, D=\{2,5\},
E=\{1,5\}$
\item $A=\{a,b,c,d\}, B=\{b,c,d\}, C=\{a,b,c\}, D=\{b,c\},
E=\{b,d\}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section{Perkalian Kartesius dan Relasi Himpunan}
Tujuan Umum
Setelah mempelajari materi pada bab ini diharapkan agar pembaca
memahami konsep dan sifat-sifat relasi dan fungsi serta
menggunakannya dalam menyelesaikan permasalahan yang berhubungan
relasi dan fungsi.

Tujuan Khusus
Setelah mempelajari materi pada bab ini diharapkan agar pembaca
dapat
\begin{enumerate}
\item menyelesaikan perkalian Kartesius dua himpunan
\item memberi contoh berbagai jenis relasi dengan sifat-sifatnya
\item memberi contoh berbagai jenis  fungsi dengan sifat-sifatnya
\end{enumerate}

Materi
\begin{enumerate}
\item Perkalian Kartesius
\item Relasi dan sifat-sifatnya
\item Fungsi
\end{enumerate}

Selain operasi himpunan yang telah dibicarakan sebelumnya, ada
juga operasi himpunan yang disebut perkalian himpunan, yang disebut perkalian
kartesius.
\subsection{Perkalian Kartesius}

\begin{definition}[Operasi Perkalian]
Perkalian (atau disebut juga perkalian
kartesius\index[subjek]{operasi himpunan!kartesius}) dua buah
himpunan adalah himpunan yang beranggotakan semua pasangan berurut
unsur pertamanya berasal dari himpunan terkali dan unsur keduanya
berasal dari himpunan pengali. \[A \times B =\{ (x,y)|x \in A
\wedge y \in B\}\] \end{definition}
\hbox to \hsize{\hfill{\vrule width \hsize height 0.25pt}}


\begin{exercise}\sf
Jika $A=\{1,3,5\}$ dan $B=\{4,5\}$ maka
\begin{enumerate}
\item $ A\times B = \{(1,4),(1,5),(3,4),(3,5),(5,4),(5,5)\} $
\item $ B\times A = \{(4,1),(4,3),(4,5),(5,1),(5,3),(5,5)\} $
\end{enumerate}
\end{exercise}

Hasil perkalian himpunan selain dinyatakan dengan himpunan
pasangan terurut, dapat juga dinyatakan dengan grafik kartesius.
seperti pada Gambar 

\begin{theorem}
Untuk sembarang $A$ dan $B$, secara umum berlaku:
 \begin{enumerate}
\item $A\times B \neq B\times A$
\item $A\times B \equiv B\times A$
\item $(A\times B) = (B\times A) \Leftrightarrow A=B $
\end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{definition}
\begin{equation}
A\times A= A^2=\{(a_1,a_2)|a_1,a_2 \in A\}
\end{equation}
\begin{equation}
\underbrace{A\times A\times\ldots\times A}_n=A^n
=\{(a_1,a_2,\ldots,a_n)|a_i\in A,i=1,2,\ldots,n\}
\end{equation}
\end{definition}
\
\subsection{ Relasi}
Relasi atau hubungan antara dua himpunan merupakan himpunan bagian
dari perkalian dua himpunan bersangkutan. Relasi dari himpunan $A$
ke $B$ dinotasikan dengan $R_{A\times B}$ atau $R:A\rightarrow B$.
Ada tiga komponen yang harus dipenuhi oleh suatu relasi
$R:A\rightarrow B$ yaitu:
\begin{enumerate}
\item Adanya daerah definisi atau daerah asal yang disebut domain,
yaitu himpuan $A$ yang yang akan dihubungkan dengan suatu himpunan
lain.
\item Adanya daerah kawan yang disebut codomain, yaitu himpunan
$B$ yang menjadi kawan himpunan $A.$
\item Adanya aturan pengawanan antara himpunan asal $A$ dan
himpunan kawan $B$.
\end{enumerate}

Bentuk aturan pengawanan dapat dilakukan dengan berbagai cara
diantaranya adalah dengan mengguakan diagram panah, himpunan
pasangan berurut. Jika pasangan berurut $(x,y)$ merupakan ang-gota
dari $R$ maka dinotasikan dengan $(x,y)\in R$, jika tidak maka
dinotasikan $(x,y)\not\in R$.



\begin{exercise}
Misalkan $R$ adalah relasi dari $N$ ke $N$ dengan aturan
pengawanan
 \[R=\{(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3),\cdots \}\] atau
\[R=\{(x,y)|y\le x;\;x,y\,\in N\}\]
\end{exercise}

\begin{exercise}
 Misalkan $R$ adalah relasi dari $N$ ke $N$ dengan aturan
$R(n)=2n$ dapat dinyatakan dengan $R=\{(x,y)|y=2x,\;x\in N\}$
\end{exercise}

Himpunan bagian dari himpunan kawan yang dipilih menjadi kawan
disebut daerah {\em hasil/ range} dari $R$. Pada contoh diatas
daerah hasil $H_R$ adalah himpunan bilangan bulat positif, yaitu
$H_R=\{2,4,6,\cdots\}$.

\subsection{ Sifat-sifat Relasi}
Relasi dari suatu himpunan ke dirinya sendiri dapat dibedakan menjadi
beberapa jenis diantaranya dilihat dari banyaknya unsur yang berkawan
kedirinya sendiri, kesimetrisan perkawanan. Berikut adalah
definisi formal dari beberapa sifat relasi himpunan ke dirinya sendiri.

\begin{definition}
Relasi $R$ dikatakan bersifat reflektif jika
\[\forall x,\;(x,x)\in R\]
\end{definition}
\begin{definition}
Relasi $R$ dikatakan bersifat non-refleksif jika
\[\exists x,\;(x,x)\not\in R\]
\end{definition}
\begin{definition}
Relasi $R$ dikatakan bersifat irreflekfif  jika
\[\forall x,\;(x,x)\not\in R\]
\end{definition}

\begin{definition}
Relasi $R$ dikatakan bersifat simetrik  jika
\[\forall x,y\;(x,y)\in R\,\Rightarrow (y,x)\in R\,\]
\end{definition}

\begin{definition}
Relasi $R$ dikatakan bersifat non-simetrik  jika
\[\exists x,y\;(x,y)\in R\,\Rightarrow (y,x)\not\in R\,\]
\end{definition}

\begin{definition}
Relasi $R$ dikatakan bersifat asimetrik  jika
\[\forall  x,y\;(x,y)\in R\,\Rightarrow (y,x)\not\in R\,\]
\end{definition}

\begin{definition}
Relasi $R$ dikatakan bersifat transitif  jika
\[\forall x,y,z\;\Big[(x,y)\in R\,\wedge (y,z)\in R\Big]\Rightarrow (x,z)\in R\,\]
\end{definition}

\begin{definition}
Relasi yang sekaligus bersifat reflektif, simetrik dan transitif
disebut relasi ekuivalensi.
\end{definition}

\begin{exercise}
 Berikut adalah beberapa contoh relasi yang merupakan relasi
refleksif.
\begin{enumerate}
\item Relasi sama dengan (=) pada himpunan bilangan riil.
\[\forall x,\; x=x \text{ yaitu } (xRx)\]
\item Relasi kongruensi pada himpunan segitiga.
\item Relasi faktor dari, pada himpunan bilangan bulat selai 0.
\[\forall x,\; x\text{ faktor dari } x \text{ yaitu } (xRx)\]
\item Relasi mirip pada himpunan manusia. Setiap orang
mirip dirinya sendiri.
\end{enumerate}
\end{exercise}


\begin{exercise}
 Berikut adalah beberapa contoh relasi non-reflektif.
\begin{enumerate}
\item Relasi faktor dari pada himpunan semua bilangan bulat. (Ada 0
tidak dapat dibagi 0)
\item Relasi mencintai pada himpunan manusia. Ada orang yang
tidak mencintai dirinya sendiri.
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
 Berikut adalah beberapa contoh relasi irreflektif.
\begin{enumerate}
\item Relasi tidak sama pada himpunan bilangan riil.
Tidak ada bilangan yang tidak sama dengan dirinya sendiri.
\item Relasi kurang dari pada himpunan bilangan riil.
Tidak ada bilangan  yag kurang dari dirinya sendiri.
\item Relasi lebih gemuk pada himpunan manusia. Tidak ada
orang yang lebih gemuk dari dirinya sendiri.
\item Relasi lebih cantik pada himpunan manusia. Tidak ada
orang yang lebih cantik dari dirinya sendiri.
\end{enumerate}
\end{exercise}



\begin{exercise}
 Berikut adalah contoh relasi yang bersifat simetrik.
\begin{enumerate}
\item Relasi sama dengan pada himpunan bilangan riil.
\item Relasi kongruensi pada himpunan segitiga.
\item Relasi kenal dengan (pernah berkenalan)
pada himpunan manusia
\end{enumerate}
\end{exercise}


\begin{exercise}
 Berikut adalah contoh relasi yang bersifat non-simetrik.
\begin{enumerate}
\item[i] Relasi lebih besar atau sama dengan pada himpunan bilangan riil.
\item[ii] Relasi mencintai
pada himpunan manusia
\end{enumerate}
\end{exercise}


\begin{exercise}
 Berikut adalah contoh relasi yang bersifat asimetrik.
\begin{enumerate}
\item[i] Relasi lebih besar dari pada himpunan bilangan riil.
\item[ii] Relasi lebih tinggi
pada himpunan manusia
\item[iii] Relasi lebih tua
pada himpunan manusia
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
 Berikut adalah contoh relasi yang bersifat transitif.
\begin{enumerate}
\item[i] Relasi lebih besar dari pada himpunan bilangan riil.
\item[ii] Relasi lebih tinggi
pada himpunan manusia
\item[iii] Relasi lebih tua
pada himpunan manusia
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{definition}
Relasi $R$ dikatakan bersifat {\bf non-transitif} jika
\[\exists x,y,z\;\Big[(x,y)\in R\,\wedge (y,z)\in R\Big]\Rightarrow (x,z)
\not\in R\,\]
\end{definition}

\begin{exercise}
Berikut adalah contoh relasi yang bersifat non-transitif.
\begin{enumerate}
\item Relasi berpotongan pada himpunan.
\item Relasi mengenal
pada himpunan manusia
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{definition}
Relasi $R$ dikatakan bersifat {\bf intransitif} jika
\[\forall x,y,z\;\Big[(x,y)\in R\,\wedge (y,z)\in R\Big]\Rightarrow (x,z)
\not\in R\,\]
\end{definition}

\begin{exercise}
 Berikut adalah contoh relasi yang bersifat intransitif.
\begin{enumerate}
\item Relasi pangkat kuadrat dari pada himpunan bilangan riil selain 0 dan 1.
\item Relasi akar kuadrat dari pada himpunan bilangan riil selain 0 dan 1.
\item Relasi pacar dari pada himpunan manusia.
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
 Berikut adalah contoh relasi yang bersifat ekuivalensi.
\begin{enumerate}
\item Relasi sama dengan pada himpunan bilangan riil.
\item Relasi kongruensi pada himbunan segitiga.
\item Relasi kesejajaran pada himbunan garis.
\item Relasi sama tinggi pada himpunan manusia.
\item Relasi sama berat pada himpunan manusia.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\subsection{Penyajian Relasi dengan Matriks}
Selain dengan cara diagram panah, relasi juga dapat disajikan dalam
bentuk matriks. Dalam hal ini matriks representasinya memiliki
ciri-ciri sebagai berikut.
\begin{enumerate}
\item Baris matriks menunjukkan unsur-unsur himpunan domain;
\item Kolom matriks menunjukkan unsur-unsur himpunan kodomain;
\item Jika dua unsur memiliki relasi maka unsur matriks yang bersesuaian adalah 1,
jika tidak maka unsurnya adalah 0.
\end{enumerate}
\begin{exercise}
\end{exercise}
Misalkan $R_1$ adalah relasi dari $A=\{1,2,3,4\} $ ke $B=\{a,b,c\}$
dengan aturan \[R_1=\{(1,a),(1,b),(2,c),(3,a),(4,b)\}\].
\newline Misalkan pula $R_2$ adalah relasi dari $A$ ke dirinya sendiri
dengan aturan \[R_2=\{(1,1),(1,3),(2,2),(3,1),(3,3),(4,4)\},\] maka
dalam bentuk matriks dapat disajikan sebagai berikut ini.

\[R_1=\left[
\begin{array}{c|ccc}
&a&b&c \\
\hline
1&1&1&0\\
2&0&0&1\\
3&1&0&0\\
4&0&1&0
\end{array}
\right],\;\quad R_2=\left[
\begin{array}{c|cccc}
&1&2&3&4 \\
\hline
1&1&0&1&0\\
2&0&1&0&0\\
3&1&0&1&0\\
4&0&0&0&1
\end{array}
\right]
\]
\end{document}

\documentclass[12pt]{article}
%100\%   % test comment removal
\begin{document}
\begin{figure}
\caption{Grafik Relasi dari $H$ ke $H$}
\end{figure} 


Bahan Diskusi:

\begin{enumerate}
\item Sebutkan ciri-ciri matriks yang memenuhi sifat (i) reflektif, (ii) simetrik, (iii) transitif dan (iv) ekuivalensi
\item Sebutkan ciri-ciri grafik yang memenuhi sifat (i) reflektif, (ii) simetrik, (iii) transitif  dan (iv) ekuivalensi 
\item Selidiki dan jastifikasi apakah $R$ memenuhi (i) reflektif, (ii) simetrik, (iii) transitif, (iv) ekuivalensi?
\end{enumerate}

\section{Fungsi}

Perhatikan bahwa relasi $R:A\rightarrow B$ adalah himpunan bagian
dari $A\times B$. Dalam keadaan demikian bisa jadi ada unsur $A$
yang tidak mempunyai kawandi $B$ atau suatu unsur di $A$ memiliki
lebih dari satu kawan di $B$. Beberapa relasi yang sifatnya khusus
disebut, yaitu tidak memiliki  sifat tadi disebut fungsi. Dengan
kata lain, setiap unsur di $A$ memiliki satu dan hanya satu kawan
unsur $B$.

\begin{definition}
$f:A\rightarrow B$ adalah suatu hubungan yang memiliki sifat bahwa
\[\forall a\in A,\;\exists !, \;b\in B,\;\ni b=f(a)\]
\end{definition}

Dalam fungsi ada tiga komponen yang harus dipenuhi yaitu
\begin{enumerate}
\item Domain (daerah asal), misalnya himpunan $A$.
\item Kodomain (daerah kawan), misalnya himpunan $B$.
\item Aturan pemetaan $b=f(a)$ atau $y=f(x)$ jika fungsinya dari
$X$ ke $Y.$

\end{enumerate}
Dilihat pada diagram  panah, maka diagram panah suatu fungsi
memiliki ciri-ciri sebagai berikut:
\begin{enumerate}
\item  ada panah yang keluar dari domain,
\item panah yang keluar untuk masing-masing unsur hanya ada 1,
\item tidak ada unsur yang tidak memiliki panah keluar.
\end{enumerate}


\subsection{ Jenis-Jenis Fungsi} Dalam fungsi tidak disyaratkan
bahwa semua unsur kodomain harus memiliki prakawan di domain.
Demikian juga tidak ada keharusan bahwa dua unsur asal harus
memiliki kawan yang  berbeda. Dilihat dari cara pengambilan unsur
daerah kawan, fungsi dapat dibedakan menjadi beberapa macam yaitu
surjektif, injektif dan bijektif. Fungsi injektif dari suatu
himpunan ke dirinya sendiri sering disebut sebagai 
permutasi 

 \begin{definition} Fungsi f dari X ke
Y dikatakan fungsi satu-satu (injektif), jika setiap unsur berbeda
memiliki kawan yang berbeda pula. \[f:\text{ injektif
}\;\leftrightarrow \forall x_1,x_2 \big[(x_1\neq x_2)\Rightarrow
f(x_1)\neq f(x_2)\big]\] \end{definition}


\begin{definition}
Fungsi f dari X ke Y dikatakan fungsi pada (surjektif), jika
setiap unsur daerah kawan memiliki prakawan atau prabayangan.
\[f:\text{ surjektif }\;\leftrightarrow \forall y \in Y,\exists
x \in X\;\ni, y=f(x)\]
\end{definition}

\begin{definition}
Fungsi f dari X ke Y dikatakan fungsi korespondensi satu-satu
(bijektif), jika f sekaligus injektif dan surjektif.
\[f:\text{bijektif }\;\leftrightarrow \forall y \in Y,\exists
x \in X\;\ni, y=f(x)\text{ dan } (f(x_1)=f(x_2)) \Rightarrow
(x_1=x_2)\]
\end{definition}

\begin{theorem}
Jika suatu fungsi $f$ dari $X$ yang \ul{berhingga} ke dirinya
sendiri bersifat injektif, maka dia akan bersifat surjektif,
sehingga dia juga merupakan korespondensi satu-satu.
\end{theorem}

{Bukti:}

Andaikan $f$ tidak bersifat surjektif, berarti ada $x_1\in X$
sedemikian sehingga tidak ada $x$ sehingga $x_1 =f(x)$, sehingga
$R_A \neq A $. Tetapi  karena $f$ satu-satu berarti $D_A=A\equiv
R_A$. Karena $R_A\subseteq A$, $R_A \equiv A$ berarti
$R_A=A$(lihat Teorema \ref{dl:ek.sama}). Ini merupakan kontradiksi
($A\neq A$). Oleh karena itu haruslah juga $f$ bersifat surjektif.
Sifat ini tidak berlaku untuk himpunan tak hingga. Misalnya jika
$X=N$ dan $f(n)=2n-1$, maka $f$ bersifat injektif, tetapi tidak
surjektif, karena bilangan asli dipetakan satu-satu ke subsetnya,
himpunan bilangan asli ganjil.

\begin{theorem}
Jika suatu fungsi dari $X$ yang  \ul{berhingga}
ke dirinya sendiri bersifat surjektif, maka dia akan bersifat
injektif, sehingga dia juga merupakan korespondensi satu-satu.
\end{theorem}

Dilihat dari bentuk hubungan antara $x\in X$ dengan $y \in Y$ pada fungsi
dari $X$ ke $Y.$, fungsi dapat dibedakan atas:
\begin{enumerate}
\item fungsi aljabar (polinomial), yaitu fungsi yang berbentuk $y=\sum_{i=0}^n a_ix^i$.
beberapa fungsi istimewa termasuk dalam kelompok ini adalah
\begin{enumerate}
\item fungsi konstan, yaitu bila $a_i=0, $untuk $\forall i\neq 0;$
\item fungsi linier, yaitu bila $n=1$ dan $a_1\neq 0$
\item fungsi kuadrat, yaitu bila $n=2$ dan $a_2\neq 0$
\end{enumerate}
\item fungsi transenden, yaitu fungsi-fungsi selain fungsi aljabar\index[subjek]{fungsi!aljabar}
seperti fungsi trigonmetri (mengandung fungsi sin, cos, dll), fungsi log dan
exponensial.
\end{enumerate}

Representasi relasi dengan matriks merupakann bidang yang berkembang melalui
teori graph. Matriks representasi tersebut biasa disebut matriks ajasen adjacent matrix 
Representasi dengan matriks memungkinkan kita memanfaatkan perangkat
lunak ( software ) untuk menggambar grafik dari relasi. Hal ini
bermanfaat ntuk menggambar relasi dengan unsur yang cukup banyak. Pada contoh berikut
baik matriks relasi maupun grafiknya bisa dihasilkan dengan
software atau program R.
\subsection{Ilustrasi  Fungsi Anggota Himpunan dengan Program R}
\end{document}